同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.2）方阵的特征值与特征向量

§2方阵的特征值与特征向量

§2 方阵的特征值与特征向量

引言 ■纯量阵λE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律,即 (EMAn =An (En ■矩阵乘法一般不满足交换律,即AB≠BA ■数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的,即 (4B)=(4)B=A(aB) ■4x=xx? 例

引言 ◼ 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn )An = An (lEn ) = lAn ． ◼ 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． ◼ 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB)． ◼ Ax = l x ? 例： 3 4 0 0 3 4 2 2 , 1 2 3 0 0 2 3 1 1 l           − − =  =                      − −

基本概念 定义:设A是n阶矩阵,如果数和n维非零向量x满足 Ax=dx 那么这样的数称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A 对应于特征值的特征向量 3-4(2 例 2-3八(1 3-4 则A=1为 的特征值

一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 3 4 2 2 1 2 3 1 1      − =            − 3 4 2 3   −     − 2 1      

基本概念 定义:设A是n阶矩阵,如果数和n维非零向量x满足 Ax=dx 那么这样的数称为矩阵A的特征值,非零向量x称为A 对应于特征值的特征向量 Ax=nx=Ex 非零向量x满足(4-E)x=0(零向量) 齐次线性方程组有非零解 系数行列式|A-E|=0

一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0

12 特远 征|A-E=1 22 0 程式 n2 nn 特征方程 A-E=0 特征多项式|A-2E

特 征 方 程 特 征 多 项 式 ◼ 特征方程 | A−lE | = 0 ◼ 特征多项式 | A−lE | 11 12 1 21 22 2 1 2 | | 0 n n n n nn a a a a a a A E a a a l l l l − − − = = −

二、基本性质 在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值(重根按重数计 算) ■设n阶矩阵A的特征值为41,2,…,n,则 √九,+2+…,+1n=a1+a22…× √A12…n=|4

二、基本性质 ◼ 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）． ◼ 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1 , l2 , …, l n，则 ✓ l1 + l2 + … + l n = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … l n = |A|

3-1 例:求矩阵A 的特征值和特征向量 解:A的特征多项式为 A-E|= 13-1|=(3-)2-1=8-6+2=(4-4(2-) 所以A的特征值为A1=2,42=4 当孔1=2时,对应的特征向量应满足 3-2-1 0 即 13-2八x 解得基础解系P1 kp1(k≠0)就是对应的特征向量

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． 3 1 1 3 A   − =     − 2 2 3 1 | | (3 ) 1 8 6 (4 )(2 ) 1 3 A E l l l l l l l l − − − = = − − = − + = − − − − 1 2 3 1 0 1 2 3 0 2 x x     −     = − −         −   1 2 1 1 0 1 1 0 x x     −         =     −   1 1 1 p   =     k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

3-1 例:求矩阵A 的特征值和特征向量 解:A的特征多项式为 A-E|= 13-1|=(3-4)2-1=8-64+2=(4-(2- 所以A的特征值为A1=2,42=4 当2=4时,对应的特征向量应满足 3-4 0 13-4 =(0,即1-1 解得基础解系P2= kp2(k≠0)就是对应的特征向量

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． 3 1 1 3 A   − =     − 2 2 3 1 | | (3 ) 1 8 6 (4 )(2 ) 1 3 A E l l l l l l l l − − − = = − − = − + = − − − − 1 2 3 1 0 1 4 3 0 4 x x     −     = − −         −   1 2 1 1 0 1 1 0 x x     − −         =     − −   2 1 1 p   − =     k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．

例:求矩阵A=020的特征值和特征向量 2- 解:A-E 3-元 所以A的特征值为41=-1,A2=43=2

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ． 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 2 2 2 1 1 2 1 0 2 0 (2 ) 4 3 4 1 3 (2 )( 2) ( 1)( 2) A E l l l l l l l l l l l l − − − − − = − = − − − − − = − − − = − + −

例:求矩阵A=020的特征值和特征向量 解(续):当41=-1时,因为 A-E=A+E=030 100 10 解方程组(4+E)x=0 解得基础解系=|0.kP(k≠0)就是对应的特征向量

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = −1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0． 解得基础解系 ． 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 1 1 1 1 1 0 1 0 3 0 ~ 0 1 0 4 1 4 0 0 0 r A E A E l     − −     − = + =             − 1 1 0 1 p     =       k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量．