同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第二章 矩阵及其运算（2.3）逆矩阵

§3逆矩阵

§3 逆矩阵

矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢? 这就是本节所要讨论的问题 这一节所讨论的矩阵,如不特别说明,所指的都是n阶方阵 对于n阶单位矩阵E以及同阶的方阵A,都有 从乘法的角度来看,n阶单位矩阵E在同阶方阵中的地 位类似于1在复数中的地位.一个复数a≠0的倒数a可以 用等式aa1=1来刻划.类似地,我们引入

•矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. •矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ •这就是本节所要讨论的问题. •这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵. 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地 位类似于 1 在复数中的地位． 一个复数 a ≠ 0的倒数 a－1可以 用等式 a a－1 = 1 来刻划. 类似地，我们引入 对于 n 阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵 A，都有 A E E A A n n n n n = =

定义:n阶方阵A称为可逆的,如果有n阶方阵B,使得 AB= BA= E 这里E是n阶单位矩阵 >根据矩阵的乘法法则,只有方阵才能满足上述等式 >对于任意的n阶方阵A,适合上述等式的矩阵B是唯 一的(如果有的话) 定义:如果矩阵B满足上述等式,那么B就称为A的逆矩阵, 记作A

定义： n 阶方阵 A 称为可逆的，如果有 n 阶方阵 B，使得 这里 E 是 n 阶单位矩阵. AB BA E = = ➢根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. ➢对于任意的 n 阶方阵 A，适合上述等式的矩阵 B 是唯 一的（如果有的话）. 定义： 如果矩阵 B 满足上述等式，那么 B 就称为 A 的逆矩阵， 记作 A－1

下面要解决的问题是: 在什么条件下,方阵A是可逆的? 如果A可逆,怎样求A1?

下面要解决的问题是： •在什么条件下，方阵 A 是可逆的？ •如果 A 可逆，怎样求 A－1 ？

结论:A4=AA=AE,其中 2 In 21 22 2 12 22 n2 n 2 m1 In nn 定理:着A≠0,则方阵可逆,而且元素a的代数 余子式4位于 第/行第i列 推论:若|A|≠0,则|A= A

11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       11 21 1 * 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A       =       结论： ，其中 * * AA A A A E = =| | 定理：若 | | 0 A  ，则方阵A可逆，而且 1 * 1 . | | A A A − = 推论：若| | 0 A  ，则 . 1 1 | | | | A A − = 元素 的代数 余子式 位于 第 j 行第 i 列 ij a Aij

例:求二阶矩阵A= 的逆矩阵 d -b ad-bcl-c a

例：求二阶矩阵 的逆矩阵. a b A c d   =     1 1 d b A ad bc c a −   − =   − − 

221 例:求阶方阵A=315的逆矩阵 323 解:|A|=1,M1=-7,M12=-6,M13=3, M,=4,Mn=3,M 22 2. 则 A=A A4 12 2 13 21 7-49 22 63-7 13 23 3 32-4

例：求3阶方阵 的逆矩阵. 2 2 1 3 1 5 323 A     =       解：| A | = 1， 11 12 13 21 22 23 31 32 33 7, 6, 3, 4, 3, 2, 9, 7, 4, M M M M M M M M M = − = − = = = = − = = = − 则 11 21 31 1 * * 12 22 32 13 23 33 1 | | A A A A A A A A A A A A A −     = = =       11 21 31 12 22 32 13 23 33 M M M M M M M M M   −   = − −     −   7 4 9 6 3 7 3 2 4   − −   = −       −

A|≠0 方阵4可逆 此时,称矩阵A 为非奇异矩阵 定理:若方阵可逆,则|A|≠0 容易看出:对于n阶方阵A、B,如果 AB=E, 那么A、B都是可逆矩阵,并且它们互为逆矩阵

| | 0 A  方阵A可逆 此时，称矩阵A 为非奇异矩阵 容易看出：对于n 阶方阵A、B，如果 AB E = , 那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. 1 * 1 | | A A A − = 定理：若方阵A可逆，则 | | 0 A  ．

推论:如果n阶方阵A、B可逆,那么A、Ar、九A(4≠0) 与AB也可逆,且 (4)=(A-)y (A)=A (AB)=B-A-1

推论： 如果 n 阶方阵A、B可逆，那么 、 、 与AB也可逆，且 1 1 ( ) , A A − − = 1 A − T A   A( 0)  1 1 ( ) ( ) , T T A A − − = 1 1 1 ( ) , A A  − − = 1 1 1 ( ) . AB B A − − − =

y1=a11+a12x2+…+a1nn 线性变换=a1x+a2x2+…+a2x yn=mn11+an2x2+……+amnn 的系数矩阵是一个n阶方阵A,若记 则上述线性变换可记作Y=AX

线性变换 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , n n n n n n n nn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x  = + + +   = + + +     = + + + 的系数矩阵是一个n 阶方阵 A ，若记 1 1 2 2 , n n x y x y X Y x y             = =             则上述线性变换可记作 Y = AX