浙江大学：《复变函数与积分变换》电子书（共七章）

复变画数与积分变换 贾厚玉 mjhyazju.edu.cn 浙江大学

浙江大学 复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy@zju.edu.cn

第一章复数与复变函数 第二章解析函数 第三章复变函数的积分 第四章级数 第五章留数 第六章保角映射 第七章 Laplace变换 浙江大学

浙江大学 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Laplace变换

第一章复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 浙江大学

浙江大学 第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续

复数及其代数运算 a)复数:一对有序实数(x,y),记为zx+iy 规定: 1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) 21z2=(x1x2-y1y2)+1(x1y2+y1x2) 浙江大学

浙江大学 复数及其代数运算 a) 复数：一对有序实数（x, y），记为 z=x+ i y 1 2 规定： i = − 1 2 1 2 1 2 z = z  x = x , y = y ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z + z = x + x + i y + y ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z = x x − y y + i x y + y x

+lV x+iy +y2x2+y2x2- (x2+y1y2)+(x2y1-xy2) +y2 b)按上述定义容易验证加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律均成立。 浙江大学

浙江大学 2 2 1 1 2 1 x iy x iy z z + + = b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律均成立。 2 2 2 2 2 2 1 1 x iy x iy x iy x iy − − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x y x x y y i x y x y + + + − =

c)共轭复数: x=ly =x+ 互为共轭复数 容易 验证 ZZ=x +y z+2=2x=2Rez,2-2=2iy=2ilm2 浙江大学

浙江大学 c) 共轭复数： z = x − iy, z = x + iy 互为共轭复数 z = z, 2 2 zz = x + y z + z = 2x = 2Re z, z − z = 2iy = 2iIm z 1 2 1 2 z + z = z + z 1 2 1 2 z z = z z 2 1 2 1 z z z z =        容易 验证

d)复平面 一对有序实 数(x,y) 平面上一点P 复数z=x+ 实轴、虚轴、复平面 Z=X+1 Z平面、w平面 浙江大学

浙江大学 d) 复平面 一对有序实 数（x，y） 平面上一点P 复数 z = x + i y x y z = x + i y O 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面

e)复数的几种表示法 几何表示:平面上一矢量与一复数z构成一一对应,复 数的加减与矢量的加减一致。 加法运算 2+21s|=1+1=2 浙江大学

浙江大学 e) 复数的几种表示法 几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 x y O 1 2 z + z 1 z 2 z 1 2 1 2 加法运算 z + z  z + z

|-|-|=2|s 减法运算 浙江大学

浙江大学 x y O 1 2 z − z 1 z 2 z 2 − z 1 2 1 2 z − z  z − z 减法运算

复数的三角形式与指数形式 x三coS 6 y=rsin e 利用极坐标来表示复数z, 2 则复数z可表示为 0=arctan 三角式:z=r(osO+isim0) 指数式:z=re r=2 复数的模 6=Arg z 复数的幅角 浙江大学

浙江大学 复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z，    = =   sin cos y r x r      = = + x y r x y arctan 2 2  则复数 z 可表示为 三角式： z = r(cos + isin  ) i 指数式： z = re r = z  = Arg z 复数的 模 复数的 幅角