湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 函数的极限与连续性 §3－4 微分与差分

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3-4微分与差分 微分的概念 实际工作中,常要计算Af(x+Ax)f(x)但当 ∫(x)的表达式复杂时,Δy的计算也较复杂,不好算 要找y的近似公式.这一近似公式应满足() 好算,(i)具有起码的精度 OD 高等數粤

一、微分的概念 实际工作中，常要计算y=f (x+ x)−f (x). f (x)的表达式复杂时, y的计算也较复杂, 不好算. 但当 要找y的近似公式. 这一近似公式应满足(i) 好算, (ii)具有起码的精度. §3－4 微分与差分

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1.一正方形金属薄片受温度影响,其边长由x 变到x+△x,求此薄片面积改变了多少? 解:如图,当正方形边长为x时,面积A=x2 因此面积的改变量为 △ △A=(x+Ax)2-s0 2x0·Ax+(△x)2 记dA=2x·△ 误差△A-dA=(△x)2=o(△x OD 高等數粤

例1. 一正方形金属薄片受温度影响, 其边长由x0 变到x0+x, 求此薄片面积改变了多少？ 解：如图, 因此,面积的改变量为 2 0 2 0 A = (x + x) − x d 2 . 0 记 A = x x d ( ) ( ). 2 误差 A− A = x = o x 2 0 = 2x x + (x) x0 x0 x x x x 当正方形边长为x时,面积A=x 2

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义.设y=f(x)在x0的某邻域U(xo)内有定义 如果^y=f(x0+△x)f(x)可表示成 y=A.△x+o(x) 其中A为只与x有关而与△x无关的常数.则称 yf(x)在点x处可微.称A△x为f(x)在x点相应于 △x的微分.记作dy,即dy=A△x OD 高等數粤

1. 定义. 设y=f (x)在 x0 的某邻域U(x0 )内有定义. 如果 y = f (x0+  x)−f (x0 )可表示成 y = A  x+o ( x) 其中A为只与x0有关而与x无关的常数. 则称 y=f (x)在点x0处可微. 称A  x 为f (x)在x0点相应于  x 的微分. 记作d y，即dy = A  x

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注1.若y=f(x)在x可微,则微分dy=A,△x是Ax 的线性函数.另外,当4≠0,△x->0时,△y~dy 这是因为 ydy+o(△x) → A·△ (△x>0) 注2.当y=f(x)在x可微时,△ydy=o(Ax) (△x>0) OD 高等數粤

注1. 若y=f (x)在x0可微，则微分d y= A  x是x 的线性函数. 另外, 当A0, x→0时, y ~ dy. 这是因为 y y o x y y d d ( ) d +  =  注2. 当y = f (x)在x0可微时，y−dy = o(x) A x o x   = + ( ) 1 →1 (x→0) (x→0)

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2.可微与可导的关系 定理1.y(x)在x可微的充要条件是y=f(x)在x 可导.且当y在x可微时dy=/(x)Ax 证:必要性若yf(x)在x可微由定义 △y=A.△x+O(△x) 从而4y A+ 0(△x) A(△x→>0) △x △ 故y=f(x)在x可导 且A=imy=r(x)即=f(x)Ax 0△X OD 高等數粤

2. 可微与可导的关系 定理1. y=f (x)在x0可微的充要条件是y=f (x)在x0 可导. 且当y在x0可微时. dy=f '(x0 )x. 证： 必要性. 若y=f (x)在x0可微. 由定义 y=A  x+o ( x) 从而 ( 0). ( ) →  →   = +   A x x o x A x y 故 y = f (x)在x0可导. 且 lim '( ). 0 0 f x x y A x =   =  → 即dy = f '(x )x 0

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 充分性,若y=f(x)在x可导.则im=f"(x) 0△x 故N=f(x)+a其中a→0(当Ax→0时) 或Ay=∫"(x)△x+a·Ax2 My.N=1ma=0即a·△x=0(△x) 由于lim △x→>0 故y=f(x)在x可微.且dy=f(xo)Ax 定理1告诉我们,对于一元函数yf(x)而言, 可微与可导是等价的 OD 高等數粤

lim '( ). 0 0 f x x y x =    → 充分性，若y=f (x)在x0可导. 则 故 '( ) , 0 ( 0 ). = 0 + 其中 → 当 → 时   f x x x y   '( ) , 0 或 y = f x x + x 由于 lim lim 0. ( ). 0 0 x o x x x x x = =  =     →  →    即 故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f '(x0 )x. 定理1告诉我们，对于一元函数y=f (x)而言, 可微与可导是等价的

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3.若y=f(x)在(a,b)内每一点处均可微(可 导)则称f(x)在(a,b)内可微这时,对x∈(a,b) 有dyf(x)Ax,称为函数y(在x点)的微分dy=f (x)△x是一个既与x又Ax与有关的量.这里x与 Ax是独立变化的 OD 高等數粤

3. 若y=f (x)在(a, b)内每一点处均可微(可 导),则称f (x)在(a, b)内可微.这时, 对x(a, b), 有dy=f '(x)x, 称为函数y(在x点)的微分. dy=f '(x)x是一个既与x又x与有关的量. 这里x 与 x是独立变化的

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 4.记dx=△x.称为自变量x的微分 即,自变量x的微分就等于自变量的增量 上述定义是合理的 OD 高等數粤

4. 记dx=x. 称为自变量x的微分. 即, 自变量x的微分就等于自变量的增量. 上述定义是合理的

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.设y=x,求y的微分dy=dx 解:dy=f(x)Ax=(x)Ax=△x 即dx=△x 由于有3、4中记号,从而dy=f(x)dx d 同除以dx,及=∫(x) x 即/函数的导数就等于函数的微分与自变量 的微分之比 OD 高等數粤

例2. 设y=x，求y的微分dy=dx. 解： dy = f '(x)x=(x)' x=x 即 dx = x 由于有3、4中记号，从而dy = f '(x)dx. 同除以dx, 及 '( ). d d f x x y = 即 函数的导数就等于函数的微分与自变量 的微分之比

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 5微分的几何意义 如图 y=f( 过M作切线MT,倾角为a 给Ax=dx>0.得点x+△x MKa O 以及点N,PQ 由导数的几何意义 0x0+△xx PQ dx △ 同乘以Aκdx,得dy=PQ OD 高等數粤

5. 微分的几何意义 如图 过M作切线MT, 倾角为 给x=dx>0. 得点x0+ x, 以及点N, P, Q. 由导数的几何意义 tg . d d x PQ x y  =  = 同乘以x=dx, 得 dy=PQ. M· x0 x + x 0 N· T  y o x Q P y=f (x)