湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 函数的极限与连续性 第六节 无穷小量的比较 第七节 函数的连续性 第九节 闭区间上连续函数的性质 第十节 函数项级数

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 第六节无穷小量的比较 般,无穷小量的商有下列几种情形 3 x 1)当x→>O时,→>3(非0常数) XX (2)当x→>O时 →)0 (3)当x→>O时, (4)当n→∞,(-1)” ,n=(-1)”,极限不存在 OD 高等數粤

一般, 无穷小量的商有下列几种情形. 3 ( 0 ) 3 (1)当 → 0时, → 非 常数 x x x (2) 0 , 0 2 → → x x 当x 时 → →  2 (3) 0 , x x 当x 时 ( 1) , . 1 1 ( 1) (4)当 时, n 极限不存在 n n n n = − −  →  第六节 无穷小量的比较

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (2)若hina(x) A≠0, (x) 则称a(x)和(x)是同阶无穷小量, 记作,a(x)O(Bx) 特别若lma(x) 「B(x74≠0, 则称a(x)是6(x)的阶无穷小量 记作a(x)=O(B(x) OD 高等數粤

0, ( ) ( ) (2) lim = A  x x   若 则称(x)和(x)是同阶无穷小量, 记作, (x)= O((x)) 则称 (x)是(x)的k阶无穷小量. 0, [ ( )] ( ) , lim = A  x x k   特别 若 (x) O( (x)) k 记作  = 

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (3)若 a(x (x) 则称a(x)和(x)是等价无穷小量 记作,a(x)~Bx) 显然,若(x)~BGx),则a(x)和6(x)是同阶 无穷小量,但反之不对 OD 高等數粤

1, ( ) ( ) (3) lim = x x   若 则称(x)和(x)是等价无穷小量, 记作, (x) ~ (x) 显然, 若(x) ~ (x), 则 (x)和(x)是同阶 无穷小量, 但反之不对

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 比如, )因limx=0.所以x2=(x)(x→0) x->0x 1-COS x (1)因lim 所以,1-cosx=O(x2).(x→0) x->0 x 2 (i)当x→>O时,sinx~x,tgx~x,e2-1~x(1+x)~x COSx OD 高等數粤

比如, (i) lim 0. , ( ). ( 0) 2 2 0 = = → → x o x x x x x 因 所以 (ii) . ,1 cos ( ). ( 0) 2 1 cos 1 lim 2 2 0 = − = → − → x O x x x x x 因 所以 (iii) x 0 ,sin x ~ x,tgx ~ x,e 1~ x,ln(1 x) ~ x. x 当 → 时 − + 2 2 1 1− cos x ~ x

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例n→∞时,1=0(1)2 10 100 1000 0.1 0.01 0.00 0.010.00010.000001 0.2 0.02 0.002 en-10.1050.010050.0010005 OD 高等數粤

. 1 , 1 ~ 2 1 , 1 1 , , 1 2 n e n O n n o n n n  −       =      例 → 时 = n n 1 2 1 n n 2 1 1 − n e 10 0.1 0.01 0.2 0.105 100 0.01 0.0001 0.02 0.01005 1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005 … … … … …

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1.设Q(x),a'(x),B(x),B(x)是某极限过程中的 无穷小量.f(x)是另一变量,且,a(x)~a'(x), B(x)~B(x),则 a'(x) (1)lim B(x)6(x) (2) lima(xf(x)=lima(x)f(x) (3)lima()f( lim a(x)f(x) f"(x) (x) 只须右端极限存在或为无穷大 OD 高等數粤

定理1. 设(x),  (x), (x),  (x)是某极限过程中的 无穷小量. f (x)是另一变量, 且,  (x) ~  (x), (x) ~  (x), 则 , ( ) ( ) lim ( ) ( ) (1) lim x x x x     =   (2) lim(x) f (x) = lim(x) f (x), . ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) (3) lim x x f x x x f x     =   只须右端极限存在或为无穷大

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 证:(1)因为a(x)~a'(x),B(x)~B(x) 所以lim a() B(x) liml a(x)a(x) b(r) a(x) B(x) B(x) lim a(r) (x) 类似可证(2),(3) OD 高等數粤

证: (1) 因为(x) ~  (x), (x) ~  (x), 所以 ( ) ( ) lim x x               = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim x x x x x x       ( ) ( ) lim x x   = 类似可证(2), (3)

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例!.求1m(2x x→)0Sln5x 解:由于当x->0,tgx~x,从而tg2x~2x 当x>0,sinx~x,从而sin5x~5x 故,lim 522x lim g 2x2 x-0sin 5x x,0 5x 5 OD 高等數粤

例1. . sin 5 tg2 lim 0 x x x→ 求 解: 由于当x→0, tgx ~ x, 从而tg2x ~ 2x. 当x→0, sinx ~ x, 从而sin5x ~ 5x. 故, x x x sin 5 tg2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 =

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG e 例2.lim (a≠b) x→>0 sIn ax- sin bx bx e a-b)x 解:lim =im x>osin ax-sin bx x=0 atb 2 cOs Xsin bx e (a-b)x Im 0 +6 b 2 COS SIn 11(a-b)x x→>0a b 2 OD 高等數粤

例2. , ( ) sin sin lim 0 a b ax bx e e ax bx x  − − → 解: x a b x a b e e bx a b x x 2 sin 2 2cos ( 1) lim ( ) 0 + − − = − → x a b e x a b e a b x x bx x 2 sin ( 1) lim 2 2cos lim ( ) 0 0 − −  + = − → → x a b a b x x 2 ( ) lim 2 1 0 − − = → = 1 ax bx e e ax bx x sin sin lim 0 − − →

NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例3.求lmx2m、3 x→)0 解:imx2ln(1+3)=1im/3 m x->0x 3 x 或,limx2ln(1+-3)=lim x>0x3 n(1+-3) =1im3ln(1+3)3=1im3 lim In(1+ x→>∞x x→)0X =0·1=0 OD 高等數粤

例3. ). 3 lim ln(1 3 2 x x x  + → 求 解: ) 3 lim ln(1 3 2 x x x  + → 3 2 3 lim x x x =  → x x 3 lim → = = 0 或, ) 3 lim ln(1 3 2 x x x  + → ) 3 ln(1 3 3 lim 3 3 x x x x =  + → 3 3 3 ) 3 ln(1 3 lim x x x x = + → 3 3 3 ) 3 lim ln(1 3 lim x x x x x =  + → → = 0 ·1= 0