《微积分》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 微分方程（5.2）一阶线性微分方程

Chapter 5(2) 阶线 程全微

Chapter 5(2) 齐次方程与一阶线性微 分方程及全微分方程

教学要求 (1)掌握一阶线性微分方程的解法; (2)会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3)会用简单的变量代换解某些微分方程 K

教学要求 (1) 掌握一阶线性微分方程的解法; (2) 会解齐次方程、贝努利方程、全微分方程; (3) 会用简单的变量代换解某些微分方程

齐次方程 二可化为齐次的方程 一阶线性微分方程 四贝努利方程 五.全微分方程 K

一 .齐次方程 三.一阶线性微分方程 四.贝努利方程 二.可化为齐次的方程 五.全微分方程

齐次方程 1.定义: 形如可=f()或=v(、)的微分方程称为齐次方程 如 dy y x r zy (x+ dy=0. 对于P(x,y)x+Q(x,y)y=0, P(x,y),Q(x,y)为同次齐次函数 K

一、齐次方程 1. 定义： ( ) ( ) y x y x y f dx dy 形如 = 或  = 的微分方程称为齐次方程. , 2 y x x y dx dy 如 = + ( ) 3 0. 3 3 2 x + y dx − xy dy = ( , ), ( , ) . ( , ) ( , ) 0, 为同次齐次函数 对于 P x y Q x y P x y dx + Q x y dy =

2.解法: 作变量代换u=,即y=x, 小y =u+x du 代入原式a+xc=f( 即“=(a)-4.可分离变量的方程 两边积分∫ f∫(u)-l)x 积出结果用代u才得所求齐次方程的通解

2. 解法： , x y 作变量代换 u = 即 y = xu, 代入原式 , dx du u x dx dy  = + f (u), dx du u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程  =  − x dx f u u du ( ) 两边积分 积出结果用 代u才得所求齐次方程的通解. x y

Example 1.求解微分方程 (x-ycos dx+xcos dy=0. sol60n.令n=y,则y=x,→小=xdm+ut, (x-ux cos u)dx+xcosu(udx +xdu)=0, cos udu s sinu=-Inlx+C 微分方程的解为sy=-lnx+C K

Example 1. 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则 y = xu, (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x +C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + Solution.  dy = xdu+ udx

Example2.设∫12y()+√2+y2(O=, 且当x=时y=0,求y(x) Solution原方程两边求导得xy+y=2y+√x2+y2 即y=y+,1+ =, =ufr, d x d x 代入并化简得x=1+n2 分离变量得 du dx VI+u

Example 2. 1 0, ( ). [2 ( ) ( )] , 0 2 2 x y y x y t t y t dt xy x 且当 时 求 设 = =  + + = Solution.原方程两边求导得 2 , 2 2 xy + y = y + x + y 1 . 2 2 x y x y 即 y = + + u, y xu, x y 令 = 则 = , dx du u x dx dy  = + 代入并化简得 1 , 2 u dx du x = + , 1 2 x dx u du = + 分离变量得

两边积分得+1+n2=lnx+hnCl 将n=代入化简得所求通解为y+x2+p2=(x2 又当x=时y=0,则得C=1. 所求特解为y+x2+y2=x2 K

lnu 1 u ln x lnC 2 两边积分得 + + = + . 2 2 2 y x y Cx x y 将u = 代入化简得所求通解为 + + = 又当x = 1时y = 0,则得C = 1. . 2 2 2 所求特解为 y + x + y = x

二、可化为齐次的方程 1.定义:形如=∫( ax+ by+c )的微分方程 dxˇa1x+by+ 当 CEC= 0时,为齐次方程.否则为非齐次方程 x=X+h 2.解法:令 dx=dx, dy=dr Y+k ah+bk+c=0 aX+bY+ah+bk+c令 =f( ,h+bk+C1=0 ⅨXa1X+bY+a1h+b1k+C1 求得h,k. 从而 dy aX+by fC )为齐次方程 dX aX+br K心

二、可化为齐次的方程 形 如 ( )的微分方程 1 1 1 a x b y c ax by c f dx dy + + + + = 0 , 为齐次方程. 当c = c1 = 时 ,    = + = + y Y k x X h 令 dx = dX, dy = dY 否则为非齐次方程. ( ) 1 1 1 1 1 a X b Y a h b k c aX bY ah bk c f dX dY + + + + + + + + = 2.解法： 1.定义： , . 0 0 1 1 1 h k a h b k c ah bk c 求得 令    + + = + + = ( ) . 1 1 从而 为齐次方程 a X b Y aX bY f dX dY + + =

Example3.求=x-y+的通解 dx x+y-3 h-k+1=0 Solution.由 →h=1,k=2 h+k-3=0 令x=X+1,y=Y+2 dr X-Y 代入原方程得 dX X+r 令u Y du 1-u 方程变为u+X dX 1+u

. 3 1 求 的通解 + − − + = x y x y dx dy Solution. , 3 0 1 0    + − = − + = h k h k 由  h = 1,k = 2. 令 x = X + 1, y = Y + 2. , X Y X Y dX dY + − 代入原方程得 = 令 ， X Y u = Example 3. , 1 1 u u dX du u X + − 方程变为 + =