《微积分》课程教学资源（二、三）练习1.3

练习13 四. 3.L=x = xInx.(y=x”mx孙2-1 =x"Ix:(y2)2= ylnx·y 四4.F(x,)≈ f(s)ds+e dx OF ax f∫(xy)·y OF f(xy)·x-∫(y) ay K心

练习1.3 四. 3. , z y u = x =   y u x x  z y ln y z ( y ) 1 ln − =  y z x x zy z =   y u x x  z y ln z z ( y ) x x y y y z z = ln  ln 四. 4. =  +  1 0 2 F(x, y) f (s)ds e dx xy x y f xy y x F =    ( ) f (xy) x f ( y) y F =  −  

五.2.=m/2」p2+22x+y2+x2) au 1 2x ax r teti x tz CFs ah 02u 2 +z-x·2xy2+z-x 2 (x2+y+z) (x- +y+z 22 x·2 2. andy (x+ 2 y+z)( 2、2 r t tz 02u 2Z 2xz axa (x y+z (x2+y2+x) K心

五. 2. 2 2 2 u = ln x + y + z ln( ) 2 1 2 2 2 = x + y + z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z x x y z x x u + + = + + =   2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y z x y z x x x u + + + + −  =   2 2 2 2 2 2 2 (x y z ) y z x + + + − = 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y z x y x y u + + −  =    2 2 2 2 ( ) 2 x y z xy + + − = 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y z x z x z u + + −  =    2 2 2 2 ( ) 2 x y z xz + + − =

练习14 2.∵山=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, a f P(x,y)=a, o(x, y) af 故 aP 82f 8g a2f ay axay ax ayax OP 00 ay ax K心

练习1.4 一. 2. df = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, ( , ) , xf P x y   = ( , ) , yf Q x y  = , 2x yf yP    =  故 , 2y xf xQ    =  . xQ yP  =  

练习15 1.取I={-1,0,0}, af af cos a+cos B+cosy al ax oz ax 七∫x(xo,n)c+fxn,yn)sia1=1 ∫x(x0,J0)c0s的2+∫(x0,Jo)sin62=0 ∫x(x0,y0)+ 2 2y(x0,)=1 ∫x(xo,y0)=3 ,(xn) 2 ∫x(x0,y)+。J (x0,y0)=0 2 grad(x0,y)=√3-j,∴ gradf(xo,y)=2即为所求 K心

练习1.5 一. 1. l = {−1,0,0},  取 cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   而 . x f   = − 七. , ( , )cos ( , )sin 0 ( , )cos ( , )sin 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1    + = + =     f x y f x y f x y f x y x y x y , ( , ) 0 2 3 ( , ) 2 1 ( , ) 1 2 1 ( , ) 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0        + = + = f x y f x y f x y f x y x y x y , ( , ) 1 ( , ) 3 0 0 0 0    = − = f x y f x y y x ( , ) 3 , 0 0 gradf x y i j    = − ( , ) 2 .  gradf x0 y0 = 即为所求

练习16 一.2.z=∫( e sin y,"), az e sin y (f,2) f1· e sin y-f2 J a 2 一.5.z=-∫(xy)+yq(x+y), z ar +2ff(xy)+f(xy) y+ yo(x+y), 02z axa 2f() x+f(xy) xy+f(xy) +o(x+y)+yo(+y)=o+yo+f")

练习1.6 一. 2. ( sin , ), x y z f e y x =           − =   2 1 2 sin ( , ) x y e y f f x z x sin . 1 2 2 x y f e y f x =  −  一. 5. ( ) ( ), 1 f xy y x y x z = +  + ( ) ( ), 1 ( ) 1 2 f xy y y x y x f xy x x z = − +   +  +    ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 f xy x f xy xy x f xy x x y x z = −   +   +     +(x + y) + y(x + y) =  + y( + f )

图心[ 二.2.z=∫(x,y,z), d=df(x,y,z)=fidr+fdy+fida (1-∫3)d=f1dx+/2y af z dx t 2 dy ax Ox1-/31 0≠ az au az av az a 十 ax au ax av ax ou av x oz az a az av az 1 小x0y ay au ay oz az az (C,-2)+y 1 az az ax a 0x,=如 L x av auau

二. 2. z = f (x, y,z), dz = df (x, y,z) f dx f dy f dz = 1 + 2 + 3 f dz f dx f dy 3 1 2 (1 − ) = + dy f f dx f f dz 3 2 3 1 1 1 − + − = . 1 1 3 1 z f x f f f x z   −   = − =    二. 4. x v v z x u u z x z      +      =   ( ) 2 x y v z u z  −   +   = y v v z y u u z y z      +      =   v x z 1    = v z x y v z x y u z x y z y x z x   +    −   =   +    1 ( ) 2 u z x   = u z u   = = z

五 八.z=∫(x,L,), u=g(x, v,y), v=h(x, y), xyyx azof,ofog,amh,可fhv 十 十 十 axax au ax av ax av ax =f+f281+f1g2h+f3h1, az_oo,h,g、ofmh du dv =f282h2+f283+∫3h2 K心

五. 八. ( , , ), ( , ), ( , , ), u g x v y v h x y z f x u v = = = z xuv xvyxy xy xh vf xh vg xg uf xf xz   +   +   +  =  ( ) , 1 2 1 1 2 1 3h1 = f + f g + f g h + f yh vf yg yh vg uf yz   +  +    =  ( ) . 2 2 2 2 3 3h2 = f g h + f g + f

练习17 一.3.x2+x2=yq() 法1:设F(x,y,z)=x2+z2-y() F p(--2)=-9+q az p-p F=2z-y9 -9 -驴 z p-p 法2:2z 3,φ+1·9D-乙 az O 2 2z-p K心

练习1.7 一. 3. ( ), 2 2 y z x + z = y 法1: ( , , ) ( ), 2 2 y z 设F x y z = x + z − y ( ) , 2 y z y z F y y = − −  − = − + 2 , 1 = 2 −   = z − y F z y z . 2    −  −   = − =    z y z F F y z z y 法2: 2 , 2 y y z y z y y z z  −   = +       . 2    −  −   =    z y z y z

四.法1:x3-3xz=a 设F(x,y,z)=x3-3yz-a Fx=3x'-3yz, Fy=-3xz, F2=-3xy Oz x-yz x z z ax a-z ax z z Oxay ay 2 x yz-x 2 法2:两边对xy求偏导,并得到对xy的二阶混合偏导 法3:化成关于xy的显函数,再求偏导 K心

四. 法1: 3 , 3 3 x − xyz = a ( , , ) 3 , 3 3 设F x y z = x − xyz − a 3 3 , 2 F x yz x = − F 3xz, y = − F 3xy, z = − , 2 x z y x xy x yz x z = − − =   , y z xy xz y z = − = −         −   =    x z y x x y y z 2 y z y x x   = − −  1 2 ( ) 1 2 y z y x x = − −  − . 2 2 xy yz − x = 法2: 两边对x,y求偏导,并得到对x,y的二阶混合偏导. 法3: 化成z关于x,y的显函数,再求偏导

六.la=gp(n)+J,P() iF(x,y, u)=P(u)+[ P(t)dt-u y Fx=P(), Fy=-p(y), Fu=p-1, au P(x) au P(y) z DZ P(y 代入等式的左边,即可知结论成立 K心

六. ( ) ( ) , = +  x y u  u P t dt F(x, y,u) (u) P(t)dt u, x y 设 =  +  − F P(x), x = F P( y), y = − =  − 1, Fu , 1 ( ) − =   P x x u , 1 ( ) − = −   P y y u , 1 ( ) − =     =     P x f x u f x z , 1 ( )       −  =   −   =      P y f y u f y z 代入等式的左边,即可知结论成立