湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 矩阵理论 §1 矩阵及其运算 §2 矩阵的初等变换 §3 逆矩阵

第三章矩阵理论

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG §1矩阵及其运算 矩阵的定义 1.实际例子 例1设某物质有m个产地,n个销地,如果以 an表示由第i个产地销往第j个销地的数量,则这 类物质的调运方案,可用一个数表表示如下: AO 高等粤

§1 矩阵及其运算 一、矩阵的定义 例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以 aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这 类物质的调运方案，可用一个数表表示如下： 1. 实际例子

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 销量 产地 12 2 2 2 nmn AO 高等粤

销量 产地 a11 a12  a1 j  a1n 1 2 … j … … n mi21 a21 a22  a 2 j  a 2 n       ai1 ai2  aij  ain       a m1 a m 2  amj  amn

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 记 21 22 2n 2 2 AO 高等粤

记                     m m m j m n i i ij in j n j n a a a a a a a a a a a a a a a a                     1 2 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2解线性方程组 x+x2+x3=1 X 2)-(3 3 2 x+x2= 2 x1+x2+2x3=1(3)-(1) 0 0 代替: 00 100-1 r2-r3 0112 12 00 0 AO 高等粤

例2 解线性方程组 1 x1 + x2 + x3 = 2 x2 + x3 = 2 1 x1 + x2 + x3 = x1 = −1 x2 + x3 = 2 0 x3 = x1 = −1 x2 = 2 x3 = 0 代替：           1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 r1－r2 r3－r1           − 0 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 r2－r3           − 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 （1）－（2） （2）－（3） （3）－（1）

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2定义由m×n个数an(i=1,2,…,m;=1,2,…,n) 有次序地排成m行(横排川列(竖排)的数表 12 n 2 mn 称为一个m行m列的矩阵,简记(an)m×n,通常用 大写字母A,B,C,表示,m行n列的矩阵A也记 为An×n,构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素,而 a;表示矩阵第i行、第j列的元素 AO 高等粤

由m×n个数aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) 有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用 大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记 为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而 aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。 2. 定义

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 注意: (1)只有一行的矩阵A1xn=(a1a2…an)称为行矩阵 只有一列的矩阵Amx1= 2称为列矩阵 (2)两个矩阵A、B,若行数、列数都相等,则称 A、B是同型的。 AO 高等粤

注意： (1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an ) 称为行矩阵 只有一列的矩阵                = m m a a a A  2 1 1 称为列矩阵 (2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称 A、B是同型的

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (3)若A=(an)mnB=(b)m×是同型的,且an=b ,m;j=1,2,…,n)则称4与B相等, 记作A=B。 (4)元素全为0的矩阵称为零矩阵,记作O, 不同型的零矩阵是不相等的 AO 高等粤

(3) 若 A = (aij)m×n , B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等， 记作A＝B。 (4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O， 不同型的零矩阵是不相等的

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 矩阵的运算 1.矩阵的加法 (1)定义设A=(a1m×n,B=(b 1)质mXn 则矩阵C=(cn)m×n(an1+bn)m×n +6 +6 b2 aL2,+ 2 22 +6 ml am2+6 ..a tb 称为矩阵A与B的和,记作C=A+B AO 高等粤

二、矩阵的运算 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n 则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n               + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B 1. 矩阵的加法 (1) 定义

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (2)性质 设A,B,C,O都是m×n矩阵 (1)A+B=B+A 2)(A+B)+C=A+(B+C) (3)A+O=0+A=A AO 高等粤

设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵 (1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = O + A = A (2) 性质