湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第三章 矩阵理论 §4 欧氏空间 §5 线性变换 第五章 线性方程组 §1 线性方程组的消元法

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG §4欧氏空间 在R"中引进内积运算,建立n维欧氏空间概念 →n维向量的长度 →n维向量间的夹角 →n维向量间的关系 AO 高等粤

在R n 中引进内积运算，建立n维欧氏空间概念  n维向量的长度  n维向量间的夹角  n维向量间的关系 §4 欧氏空间

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 、向量的内积 定义1设n维向量 (X1,X2…,xXn),B=(y1,y2.,yn 定义数:X1y1+X2y2+…+Xnyn 为向量a与B的内积,记为(a,B) 即(a,B)=X1y1+x2y2 T.TX nn 注:定义了内积的n维向量空 间R称为n维 欧氏空间( Euclid Space),仍记为R AO 高等粤

一、向量的内积 定义1 设 n 维向量 =(x1 , x2 …, xn ), =(y1 , y2…, yn ). 定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn 为向量  与  的内积，记为 ( ,  ). 即( ,  ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn . 注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 性质 (1)交换律(aB=(B,a); (2)分配律(a+B,y)=(a,y)+(B,y) (3)内积满足如下结合律 (na, B)=(a, aB)=n(a,B); hER (2)与(3)等价于 (a+4B,y)=(ax,y)+4(B,y);、∈R (4)非负性(a,a)≥0,且(a,a)=0a=0. AO 高等粤

性质 (1) 交换律 (,)=(,); (2) 分配律 (+, )=(,)+(,); (2)与(3)等价于 (+,)= (,)+ (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0. (3) 内积满足如下结合律: (,)=(,)=(,);  R

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 二、向量的长度与夹角 定义2设n维向量a=(a1,a2,…,an)称 lakv(a, a)=va+a2+.+an 为向量α的模(或长度) 特别:|a=1的向量a称为单位向量, C 当a≠0my/a/为一单位向量称为c的单位化 AO 高等粤

定义2 设 n 维向量=(a1 ,a2 ,…,an ).称 | | ( , ) . 2 2 2 2  =   = a1 + a ++ an 为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量  称为单位向量， | |  当  0时， 为一单位向量称为 的单位化。 二、向量的长度与夹角

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 长度的性质: Va,B,y∈R,∈R,则 (1)非负性a≥0,若(a=0a=0; (2)正齐次性2a=4|al (3)三角不等式|a+Bs|a+ AO 高等粤

,,Rn ,R,则 (2) 正齐次性 ||=||·||; (3) 三角不等式 |+|||+||. 长度的性质: (1) 非负性 || 0,若||=0  = 0;

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1( Chauchy-Schwarz不等式) (a,B)≤a‖lf (a,B)|=a‖f 向量a和B线性相关 重要不等式1b1421∑b2 i=1 i=1 AO 高等粤

定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式) | (, ) |  | ||  | | (, ) | = | ||  | 向量 和  线性相关. | | . 1 2 1 2 1    = = =  n i i n i i i n i 重要不等式 ai b a b

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定义3 设a,B为尺中两个向量,定义a与的夹角为 Ka, B)=arccos (a,B) 特别: 当(a,B)=0时,称a与B垂直(正交) 记为a⊥B AO 高等粤

定义 3 . | || | ( , ) , arccos       =  记为⊥ . 设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为 当(,)=0时，称与 垂直(正交) 特别:

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理2(勾股定理) 设a1,a2,,ck为欧氏空间R中两两正交的向 量,即(G,0)=0,j,则 1+a2…+a|2=01-+0/+.+Ck 证:|a1+a2+.+aAP2 (a1+a2+.+ak,a1+a2+.+a) Ca,2a)=∑∑(a1,a1)=∑(a1 J- + 2 AO 高等粤

定理2 (勾股定理) 设1 ,2 ,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向 量，即(i ,j )=0,ij，则 |1+2+…+k | 2=|1 | 2+|2 | 2+…+|k | 2 证: ( , ) 1 1   = = = k j j k i i  = = k i 1 ( , ) 1 = = k i  i  i =|1 | 2+|2 | 2+…+|k | 2 |1+2+…+k | 2 = (1+2+…+k ,1+2+…+k ) ( , ) 1 = k j i  j

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例1已知ax(1,2,2,3),G(3,1,5,1),求a与 β长度及它们的夹角= arccos arccos 3√2.6 AO 高等粤

例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角. 解： || ||= (,) = 3 2, ||  ||= (,) = 6 而 (,  )=18 故 3 2 6 18 , arccos    = . 2 4 2 arccos  = =

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 三、标准正交基 1、正交向量组 定义4若(a,b)=0,则称a与b是正交的,记 作a⊥b 注:零向量与任何向量正交 定义5在欧氏空间中,一组两两正交的向量 组称为正交向量组。 AO 高等粤

1、正交向量组 定义4 若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记 作 a⊥b。 注：零向量与任何向量正交。 定义5 在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。 三、标准正交基