《微积分》课程教学资源（二、三）练习5.1

练习5.1 三,设切点为P(x,y) 则切线方程为r-y=y(X-x) 令X=0得Y=y-xy, 切线与轴的交点为Q(0,y-xy/), 依题意有PQ=1 即x2+(xy 故所求微分方程为x2+x2y2=1 K心

练习5.1 三. 设切点为 P(x, y), 则切线方程为 Y − y = y(X − x), 令X = 0,得 Y = y − xy, 切线与y轴的交点为 Q(0, y − xy), 依题意有 PQ = 1, ( ) 1, 2 2 即 x + xy = 1. 2 2 2 故所求微分方程为 x + x y =

五 43+2c12 +c dx 2t 3 d y dt 3 +c1)2 dx 2t 故(y")2=t2=x-1, 故所求微分方程为()2=x-1. K心

五. dt dx dt dy dx dy = t t c t 2 2 3 4 1 4 + = 1 3 3 2 = t + c dt dx t c dt d dx d y ) 3 2 ( 1 3 2 2 + = t t t = = 2 2 2 2 2 故 ( y) = t = x −1, ( ) 1. 2 故所求微分方程为 y  = x −

练习52 3.J y=c1-y2)+y K心

练习5.2 一. 3. ( ) , 1 2 1 y = c y − y + y y c( y y ) y . = 1 − 2 + 2

练习53 一.2,D,Ps(x-3 12 .3.卩=ch(x+c1)+C2, y=sh(+c y"=ch(x+cu), y)2=ch2(x+c1)=1+sh2(x+c)=1+(y) 故所求微分方程为: n2=1+(y K心

练习5.3 一. 2. , 12 3 x y = . 6 1 12 ( 2) 3 + − = x y 一. 3. ch( ) , 1 2 y = x + c + c sh( ), 1 y = x + c ch( ), 1 y = x + c ( ) ( ) 1 2 1 2 2 ( y ) = ch x + c = 1 + sh x + c 2 = 1 + ( y) 故所求微分方程为: ( ) 1 ( ) . 2 2 y = + y

二.2.y"=p(x),y=p'(x) P=v 1+P dp 1+p arcshp=x+Cl p=sh(r+C y=sh(x+C y'=ch(x+C1+C2 y=sh(x+C1+C2*+C3 K心

二. 2. y = p(x), y = p(x), 1 , 2 p = + p dx p dp = + 2 1 1 arcshp = x + C ( ) 1 p = sh x + C ( ) 1 y = sh x + C ( ) 1 2 y = ch x + C + C ( ) 1 2 3 y = sh x + C + C x + C

另解一y=p(x),ym=p(x),p'=√1+p2, ≤dx,则P+√1+p2)=x+hnC1, 1+ p+√1+p2=Ce, 1+ 2 e e 1+ P e 2 e C 2 (C1 e ee (C )+C2 2 e 十(2+C3 K心

另解一 y = p(x), y = p(x), 1 , 2 p = + p , 1 2 dx p dp = + ln( 1 ) ln , 1 2 p + + p = x + C 1 , 1 2 x p + + p = C e , 1 1 1 2 x C e p p = + − 1 , 1 2 C e p p − x + − = ( ), 2 1 1 1 C e p C e x x − = − ( ), 2 1 1 1 C e y C e x x −  = −  −  = − dx C e y C e x x ( ) 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 1 C C e C e x x = + + − ( ) . 2 1 2 3 1 1 C x C C e y C e x x = − + + −

另解二y"=p(x,y"=p(x),p=√1+p2 dx, In(p +√1+p2)=x+C1, 1+ p+√1+p2=e+ 1+p2-p 1+p2-p x+c e x+Cl y'f(e+Ct-e-x-C dx =1(e+Ci+e-x-C1 )+C 1Lx+ci-e-x-C1)+C2r+C e K心

另解二 y = p(x), y = p(x), 1 , 2 p = + p , 1 2 dx p dp = + ln( 1 ) , 1 2 p + + p = x + C 1 , 2 C1 x p p e + + + = , 1 1 1 2 x C e p p + = + − 1 , 2 x C1 p p e − − + − = ( ), 2 1 x C1 x C1 p e e + − − = − ( ), 2 1 x C1 x C1 y e e + − −  = −  + − − y  = e − e dx x C x C ( ) 2 1 1 1 2 ( ) 2 1 e 1 e 1 C x C x C = + + + − − ( ) . 2 1 2 3 y e 1 e 1 C x C x C x C = − + + + − −

二.3.当≠0时,原方程变为x2()2-yy=1 2 2 两边积分得y=1+c1, 两边再积分得lmy=lnx+C1x+C2, x+o .y=xe K心

二. 3. ( ) 0 , 1 2 2 2 =  −   y y yy 当y 时 原方程变为 x 1, 2 =         − y y x , 1 2 y x y = −         , 1 C1 y x y = +  两边积分得 ln ln , x C1x C2 两边再积分得 y = + + . C1 x C2 y xe +  =

另解当y≠时,原方程变为()2-yy=("y2, 令=,y=x,y=l+x! ,"=2u+X, 代入原方程得W"-u2=0, 令n'=P(u),u"=P(l) dP K心

另解 0 , ( ) ( ) , 2 2 x y 当y  时 原方程变为 y  − yy  = , x y 令u = y = xu, y  = u + xu  , y  = 2u  + xu  , 代入原方程得 0, 2 uu  − u  = 令u  = P(u), ( ) , du dP u  = P u 

练习5.4 一.1.y=C1(y2-y1)+C2(y3-y1)+y1 i=1或2或3. 二.设y=ax3+a1x2+a2x+a3(a0≠0为原方程的解 K心

练习5.4 一. 1. ( ) ( ) i y = C y − y + C y − y + y 1 2 1 2 3 1 i = 1或2或3. 二. ( 0) . 2 3 0 2 1 3 设 y = a0 x + a x + a x + a a  为原方程的解