湖南大学：《高等数学》课程PPT教学课件（讲稿）第一章 向量代数与空间解析几何（1.1）向量的概念及向量的表示

高等数学 (二)

第一章向量代数与空间解析几何

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG §1向量的概念及向量的表示 、向量的基本概念 ()向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量称为向量 (或矢量) 2向量的几何表示法: B 用一条有方向的线段来表示向量 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向 以A为起点,B为终点的向量,记为AB,a,a 向量AB的大小叫做向量的模.记为‖AB或‖a‖ AO 高等粤

§1 向量的概念及向量的表示 一、向量的基本概念 1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量. (或矢量) 2.向量的几何表示法: 用一条有方向的线段来表示向量. 以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A B a  以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, , a a .  向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或|| a || .  (一) 向量的概念

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 特别:模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量它的方向可以看作是任意的 3.自由向量 当向量a与b,大小相等且方向相同 称a与b相等记作a=b 自由向量:只有大小、方向而无特定起点的向量 具有在空间中可以任意平移的性质 AO 高等粤

3.自由向量 a  b  自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质. a b,  当向量与 大小相等且方向相同, 称a与b相等. 记作   a b   = 特别: 模为1的向量称为单位向量. 模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (二)向量的加减法 1、向量加法 (1)平行四边形法则 a+b 设布、b(若起点不重合, 可平移至重合)作以a、b为邻 边的平行四边形,对角线向量, 称为a与b和,记作a+b (2)三角形法则 将a、b之一平行移动使 a/ a+b 的起点与的终点重合,则由 的起点到的於点所引的向量 为a+b AO 高等粤

1、向量加法 (1) 平行四边形法则 设有 (若起点不重合, 可平移至重合). 作以 为邻 边的平行四边形, 对角线向量, 称为 的和, 记作 a b   、 a b  与 a b.   + a b   、 a b   + a  b  (2) 三角形法则 a b   a +  b  将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合, 则由 的起点到 的终点所引的向量 为 a b   、 a  b  a  a b.   + b  (二) 向量的加减法

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 2向量加法的运算规律 (1)交换律 a+bt+a atb=bta b atb+c (2)结合律 +C (a+b)+C=a+(b+) a+ 例如: S=a1+a2+a3+a4 AO 高等粤

2.向量加法的运算规律. (1)交换律: a b b a     + = + a b   + a  b  c  b c   + a b c    + + (2)结合律: (a b) c a (b c)       + + = + + 例如: a1 a2 a3 a4 s      = + + + s  a1  2 a  3 a  4 a  a  b  a  b  a b b a     + = +

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 3.向量减法 (1)负向量与a模相同而方向相反的向量 称为a的负向量记作-a (2)向量减法 规定:a-b=a+(-b) AO 高等粤

3.向量减法. (1)负向量:与 模相同而方向相反的向量, 称为 的负向量.记作 a  a  a.  − a  − a  (2)向量减法. 规定: a b a ( b)     − = + −

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 平行四边形法则 将a、一平移,使起 点重合作以a和-b为邻边 a-b a-b 的平行四边形,对角线向量 为a-b b 三角形法贝 将a、b一平移,使起 a-b 点重合,由b的终点向a的 终点作一向量,即为a-b b AO 高等粤

平行四边形法则. 将 之一平移, 使起 点重合, 作以 为邻边 的平行四边形, 对角线向量, 为 a b   、 a b  和− a b.   − 三角形法则. 将 之一平移, 使起 点重合, 由 的终点向 的 终点作一向量, 即为 a b   、 a b.   − a  b  a b   − a  b  a b   − a  b  − b  a b   −

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG (三)数与向量的乘法 1.定义实数与向量a的乘积为一个向量 其中:‖Aa‖=|·‖a‖ 当λ>0时,Aa与a同向; 2>0)-(2<0 当λ<0时,A与a反向; 当九=0时,A=O,它的方向可以是任意的 2.数与向量的乘积的运算规律: (1)结合律:A()=()=(1) (2)分配律:(+)a=Aa+a n(a+b)=na+ nb AO 高等粤

1. 定义 实数与向量 a 的 为一个向量.  a  乘积 其中: || a || | | || a ||    =   当 > 0时, a与a同向;    当 0) (三) 数与向量的乘法

HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1:两个非零向量a与b平行 (方向相同或相反) →存在唯一实数,使得a=b 结论:设a表示与非零向量a同向的单位向量. a=a‖a 或 ‖a‖‖a‖ AO 高等粤

结论: 设 表示与非零向量 a 同向的单位向量.   a 则    a =|| a || a 或 || || || || 1 a a a a a      = = 定理1:两个非零向量 a b 平行  与 a b.   存在唯一实数，使得 =  (方向相同或相反)