同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第一章 行列式（1.5）行列式的性质

§5行列式的性质

§5 行列式的性质

行列式的性质 12 记D 22 D n2 n2 In n nn 行列式D称为行列式的转置行列式 若记D=detn,D,则et(b)b=n 性质1行列式与它的转置行列式相等即D=D7

一、行列式的性质 11 12 1 2 21 2 2 1 2 , n n n n nn a a a a a a a a D a = 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 若记 det( ), det( ) ，则 . T D a D b ij ij = = ij ji b a = 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即 . T D D= 21 22 11 1 2 1 2 12 n n n n T n n a a a a a a D a a a =

性质1行列式与它的转置行列式相等 证明若记D=de(n,D,则et(b2) 根据行列式的定义,有 D=∑(-1)Mmbn lp……Pn ∑ t(P1P2"Pn)a an 2 Pnh P1P2…P 行列式中行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立

1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n T t p p p p p np p p p D b b b = −  性质1 行列式与它的转置行列式相等. 证明 根据行列式的定义，有 若记 D a D b = = det( ), det( ) ij ij T ，则 ( , 1,2, , ) ij ij b a i j n = = 1 1 2 1 2 2 1 ( ) 2 ( 1) n n n p p t p p p p p p p n = −  a a a = D 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行 成立的对列也同样成立

性质2互换行列式的两行(列)行列式变号 备注:交换第行(列)和第行(列),记作r分r1(c2C1) 验证 662=-196 358=196 358 175 175 于是662|=-358 358662 推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零 证明互换相同的两行,有D=以D=0

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 验证 于是 1 7 5 6 6 2 3 5 8 1 7 5 3 5 8 6 6 2 = −196 = 196 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 3 5 8 6 6 2 = − 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有D D = − ，所以 D. = 0 备注：交换第 行（列）和第 j 行（列），记作 . i ( ) i j i j r r c c  

性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个 倍数k,等于用数乘以此行列式 备注:第行(列)乘以k记作r1Xk(e;xk) 验证我们以三阶行列式为例.记 12 13 12 13 D D,=k 23 21 23 31 32 33 根据三阶行列式的对角线法则,有

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个 倍数 ，等于用数 乘以此行列式. 验证 k k 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , a a a D a a a a a a = 我们以三阶行列式为例. 记 根据三阶行列式的对角线法则，有 11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k 备注：第 行（列）乘以 k ，记作 . i ( ) i i r k c k  

12 13 D,=k 21 22 ka23 a1(ka2)3+a12(k23)a31+a13(ka21) (k21)n3-a1(ka2)a2 32 112233 12-2331 +a1 13-2132 134231-122143-1 23-32 =/D 推论行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面 备注:第行(列)提出公因子k记作r÷k(G2÷k)

11 12 13 1 21 22 23 31 32 33 k k a a a D a a a a a a = k 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k a a a = + + −−− 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a k a   + + =     − − − = kD 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提 到行列式符号的外面． 备注：第i行（列）提出公因子 k，记作 ( ) . i i r k c k  

性质4行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列 式为零 验证我们以4阶行列式为例 2 13 14 11 12 14 23 24 k 23 k0=0 32 33 34 32a 34 ka, ka,2 ka,3 ka,4 2

21 22 23 24 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 13 14 11 12 3 11 12 13 14 11 12 1 32 1 3 3 3 34 3 1 14 1 4 0 0 a a a a a k k ka k a a a a a a a a a a a a a a a a ka ka a a a a a a a a = =  = 验证 我们以4阶行列式为例. 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列 式为零．

性质5若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 例如: +b 11 12 12 13 D= 2+ 32 +b 32 33 12 13 11 12 13 则D= 32 32

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, 例如： 12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 则 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 12 12 22 22 32 3 31 3 2 3 a a a a D a a a a b a b a b a a a a a = +

验证我们以三阶行列式为例 a12+b12 D 2142+b 22 2+ 32 32 ∑(-1 t(P,P2 p3 (a22+b2p2) P2 p Pip2 P3 ∑(-1 )"P1P2P3a,, a2a2+∑(-) t(1P23) l12p23p3 Pip2 P3 Pip2p 11 12 13 12 13 aafla 23 32 33

12 12 22 22 11 13 21 23 31 3 32 32 3 a a D a a a b a b a a a b + + = + 2 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 2 ( ) 1 3 ( 1) ( ) p p t p p p p p p p p = −  a a a b + 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 2 2 1 2 3 ( ) ( ) 1 3 2 2 1 3 ( 1) ( 1) t p p p t p p p p p p p p p p p p p p p = − + −   a a a a b a 11 13 11 13 21 23 21 23 31 33 31 3 12 12 22 22 3 32 2 3 a a a b a a b a a a a a a a a a b a = + 验证 我们以三阶行列式为例

性质6把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列行对应的元素上去,行列式不变 备注:以数乘第行(列)加到第衍(列)上,记作 r+kr; c,+kc ) 验证我们以三阶行列式为例.记 11 12 13 a1 22+ka13 13 D1={1a2+ka2a2 a tka 32 则D=D

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变． 则 1 D D= . 验证 12 22 11 13 21 23 31 3 32 3 , a a D a a a a a a = a 我们以三阶行列式为例. 记 11 12 13 1 21 22 13 23 33 23 31 32 33 a a a D a a a ka ka a a a ka + + = + 备注：以数 k 乘第 行（列）加到第 行（列）上，记作 . i ( ). i j i j r kr c kc + +j