同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第一章 行列式（1.6）行列式按行（列）展开

§6行列式按行列)展开 °对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 °本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式

§6 行列式按行(列)展开 •对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. •本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高 阶行列式

、引言 2+a12l 21 22 122u33 2+ 12423431 132132 231 32 11023432 12u2133 13“22u31 1(22 23-32 +a12(a2331-a213 +a,(a 13 2132 22-31 22 23 21 23 21 u32 a 12 13 结论三阶行列式可以用二阶行列式表示 思考题任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示?

一、引言 11 22 12 23 31 1 12 21 33 33 3 21 32 11 23 32 13 22 31 a a a a a a a a a a − a a a a a − a a a = − + + 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a ( ) ( ) ( ) 12 23 3 13 21 3 11 2 22 3 22 33 3 2 1 21 33 1 2 3 a a a a a a a a a a a a a = + a a + − − − 22 23 21 23 21 23 11 12 13 32 33 31 33 31 33 a a a a a a a a a a a a a a a = − + 结论 三阶行列式可以用二阶行列式表示. 思考题 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？

在n阶行列式中,把元素an所在的第i和第j列划后, 留下来的n-1阶行列式叫做元素a,的余子式,记作M 把4=(-1为素的代数余子式 例如 12 13 4 12 14 D 34 32 33 34 42 A2=(-1)M2=-M2 结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素,所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式

例如 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a D a a a a a a a a = 11 12 14 23 31 32 34 41 42 44 a a a M a a a a a a = ( ) 2 3 23 23 23 A M M 1 + = − = − 把 ( 1) 称为元素 的代数余子式． i j A M ij ij + = − aij 在n 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划后， 留下来的n－1阶行列式叫做元素 的余子式，记作 . i j aij Mij aij 结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列 式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式

引理一个m阶行列式,如果其中第行所有元素除an 外都为零,郛么这行列式等于a与它的代数余子式的乘 积,即D 11 12 14 21 2 23 3+3 例如D= 0…0…t… 334133 3333 33 12 12 4 3+3 3321 22 24 33 21 a 2 24 42

引理 一个n 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘 积，即 D a A = ij ij ． 11 12 13 14 21 22 23 24 33 41 42 43 44 0 0 0 a a a a a a a a D a a a a a = ( ) 11 12 14 3 3 33 21 22 24 41 42 44 1 a a a a a a a a a a + = − 例如 ( ) 3 3 33 33 33 33 a A a M 1 + = = − 11 12 14 33 21 22 24 41 42 44 a a a a a a a a a a = i aij aij

分析当于第1行第1列时, 0 D= 22 2n n2 即有D=a1M1(根据P14例10的结论) 又A1=(-1)Mn=M1 从而D=an1A1 下面再讨论一般情形

11 21 22 2 1 2 0 0 n n n nn a a a a D a a a = 即有 11 11 D a M = . 又 ( ) 1 1 11 11 11 A M M 1 , + = − = 从而 11 11 D a A = . 下面再讨论一般情形. 分析 当 位于第1行第1列时, ij a （根据P.14例10的结论）

我们以4阶行列式为例 12 13 14 12 13 14 r2A53 24 000 (-1) 000 2 23 43 44 000 34 000 34 2 (-1) 14 =(-1) 2 14 21 23 24 21 22 思考题:能否以<替上述两次行变换?

11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a 我们以4阶行列式为例. 2 3 34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a  a = − 1 2 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 3 44 4 2 0 0 0 ( 1) r r a a a a a a a a a a a a a  = − 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = − 思考题：能否以 r r 1 3  代替上述两次行变换？

思考题:能否以r r+r2 3 14 000 =(-1) 34 2 23 24 000 11 12 13 14 34 anx a,+>3 22 23 24 42 43 42 答:不能

2 3 1 2 34 2 34 41 42 43 44 41 42 43 44 11 12 1 21 22 23 3 14 24 11 12 13 14 21 22 23 24 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a   = − 思考题：能否以 代替上述两次行变换？ 1 3 34 34 41 11 12 1 42 3 14 11 1 43 44 41 4 21 22 23 24 21 22 23 2 2 13 2 3 4 1 4 4 4 4 0 0 0 ( 1) 0 0 0 r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a  = − 答：不能. 1 3 r r 

000 34 000 C2>c Ctc (-1) 2 13 14 (-1) (3-1) (-1) 12 13 23 42 44 42 000 a34被调换到第1行,第1列 (-1)3(-1y41ana2a 13 au us 22 24 22 23 0--0-9- 42 (-1) (-1) M 3421 22 23 3443434 4

11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 4 34 (3 1 4 ) 0 0 0 ( 1) a a a a a a a a a a a a a − = − 3 4 2 3 1 2 14 11 12 13 24 21 22 23 44 4 34 (3 1) 3 3 1 42 4 0 0 0 ( 1) ( 1) c c c c c c a a a a a a a a a a a a a   −  = − − 14 11 12 34 (3 1) 13 24 21 22 23 44 41 42 43 (4 1) 0 0 0 ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a − − = − − 342 ( 1) + − = − 3 4 34 ( 1) a + = − 34 34 = a A a34 被调换到第1行，第1列 11 12 13 21 22 23 41 42 43 34 a a a a a a a a a a M34 11 12 13 14 21 22 23 24 41 42 43 44 34 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a

、行列式按行(列)展开法则 定理3行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即 D=anA1+a242+…+anAn(i=1,2,…n

二、行列式按行（列）展开法则 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 ( ) 1 1 2 2 1,2, , D a A a A a A i n = + + + = i i i i in in

12 13 lI +0+00+ 2 +00+0+ 13 31 32 000a 12 000 13 2|+a 23 23 23 31 32 33 31 32 33 32 112111 122112 13413 同理可得=a21A21+ 222+03 314131 a

11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 a a a a a a 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a + + + + + + = 11 12 13 21 22 23 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 31 32 33 a a a 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + 11 11 = a A 12 12 +a A 13 13 +a A 21 21 22 22 23 23 = + + a A a A a A 31 31 32 32 33 33 = + + a A a A a A 同理可得