同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第四章 向量组的线性相关性（4.4）线性方程组的解的结构

54线性方程组的解的结构

§4 线性方程组的解的结构

回顾:线性方程组的解的判定 包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩R(4)<n 2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩R(4)=R(4,b),并且 口当R(4)=R(4,b)=n时,方程组有唯一解 口当R(4)=R(4,b)<n时,方程组有无限多个解

回顾：线性方程组的解的判定 1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且  当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；  当R(A) = R(A, b) < n时，方程组有无限多个解．

引言 问题:什么是线性方程组的解的结构? 答:所谓线性方程组的解的结构,就是当线性方程组有无限 多个解时,解与解之间的相互关系 备注: ●当方程组存在唯一解时,无须讨论解的结构 ●下面的讨论都是假设线性方程组有解

引言 问题：什么是线性方程组的解的结构？ 答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系． 备注： ⚫ 当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构． ⚫ 下面的讨论都是假设线性方程组有解．

解向量的定义 定义:设有齐次线性方程组Ax=0,如果 112 21 n 为该方程组的解,则 521 称为方程组的解向量

解向量的定义 定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果 x1 = x11，x2 = x21，...， xn = xn1 为该方程组的解，则 称为方程组的解向量． 11 21 n1 x x x x       =      

齐次线性方程组的解的性质 性质1:若x=51,x=4是齐次线性方程组Ax=0的解 则x=1+4还是Ax=0的解 证明:A(41+2)=A1+A2=0+0=0 性质2:若x=是齐次线性方程组Ax=0的解,k为实数 则x=k还是Ax=0的解 证明:A(k5)=k(A5)=k0=0 结论:若x=5,x=2,…,x=4是齐次线性方程组Ax=0 的解,则x=k151+k22+…,+k还是Ax=0的解

齐次线性方程组的解的性质 性质1：若 x = x1，x = x2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = x1 + x2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(x1 + x2 ) = Ax1+ Ax2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = x 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kx 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kx ) = k ( Ax ) = k 0 = 0 ． 结论：若 x = x1 , x = x2 , ...,, x = xt是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt还是 Ax = 0 的解

结论:若x=5,x=42,…,x=4是齐次线性方程组Ax=0 的解,则x=k11+k22+…,+k还是Ax=0的解 口已知齐次方程组Ax=0的几个解向量,可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解 口能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表 示出来? 口把A=0的全体解组成的集合记作S,若求得S的一个 最大无关组S:x=5,x=42,…,x=5,那么4x=0的 通解可表示为x=k11+k2+…,+k 口齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系(不唯一) ①

结论：若 x = x1 , x = x2 , ...,, x = xt是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt 还是 Ax = 0 的解.  已知齐次方程组 Ax = 0 的几个解向量，可以通过这些解 向量的线性组合给出更多的解．  能否通过有限个解向量的线性组合把 Ax = 0 的解全部表 示出来？  把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 最大无关组S0：x = x1 , x = x2 , ...,, x = xt，那么Ax = 0 的 通解可表示为 x = k1x1 + k2x2 + … + ktxt．  齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方 程组的基础解系（不唯一）．

基础解系的概念 定义:齐次线性方程组Ax=0的一组解向量:51,,…,n 如果满足 ①4,点,…,导线性无关; ②方程组中任意一个解都可以表示51,与,…,的线性组合, 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系

基础解系的概念 定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：x1 , x2 , ..., xr 如果满足 ① x1，x2，...，xr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示x1 , x2 , ..., xr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．

设R(A)=r,为叙述方便, 不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组 b +b1x+1+…+b1nxxn=0 0 b b, +b21x,+1+…+b2 0. b x+b1x+1+…+b B 00 0 令xP,…,xn作自由变量,则 00 "r+ b-x x2=-b21x+1 前r列 后nr列 rI

前 r 列 后 n - r 列 设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为 对应的齐次线性方程组 令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 11 1, 21 2, ,1 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n r n r r r n r m n b b b b b b B − − −      =   1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , 0, 0, 0. r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + −  + + + =   + + + =    + + + =  1 11 1 1, 2 21 1 2, 1 1 , , , . r n r n r n r n r r r r n r n x b x b x x b x b x x b x b x + − + − + −  = − − −   = − − −    = − − − 

b, b 21~r+1 22r+2 rI r2~r+2 齐次线性方 程组的通解 令 Cis d nr,则 buCk b1,n b 2 rll- l-r 十C1 十…C 0 n-P 记作x=c151+c22+…,+Cnn.(满足基础解系②

1 11 1 1, 1 1 , 1 1 n r n r r r r n r n r r n n r x b c b c x b c b c x c x c − − − − + −     − − −     − − − =     令 xr+1 = c1 , xr+2 = c2 , …, xn = cn-r ，则 11 12 1, 1 2 , 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 n r r r r n r n r b b b b b b c c c − − −       − − −       − − − = + + +       齐次线性方 程组的通解 1 11 1 12 2 1, 2 21 1 22 2 2, 1 1 2 2 , , , . r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x + + − + + − + + −  = − − − −   = − − − −    = − − − −  记作 x = c1x1 + c2x2 + … + cn-rxn-r ．（满足基础解系②）

前r行 0 后n-r行 n-r列 故R(,2, ·99n-r 即5 1952··9n-r 线性无关.(满足基础解系④) 于是512,…,n,就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系

11 12 1, 21 22 2, ,1 ,2 , 1 2 ( , , , ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b x x x − − − −   − − −   − − −       − − −   =             n − r 列 前 r 行 后 n − r 行 故 R(x1 , x2 , … , xn-r ) = n − r ， 即 x1 , x2 , … , xn-r 线性无关． （满足基础解系①） 于是 x1 , x2 , … , xn-r 就是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系．