同济大学：《线性代数》课程PPT教学课件（第五版）第五章 相似矩阵及二次型（5.3）相似矩阵

§3相似矩阵

§3 相似矩阵

定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P满足 PAP=B 则称B为矩阵A的相似矩阵, 对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵 定理:若n阶矩阵A和B相似,则A和B的特征多项式相同 从而A和B的特征值也相同 证明:根据题意,存在可逆矩阵P,使得PAP=B 于是 B-hE

定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是 | B −lE | = | P −1AP − P −1 (lE) P | = | P −1 (A−lE ) P | = | P −1 | |A−lE | |P | = |A−lE | ．

定理:若n阶矩阵A和B相似,则A和B的特征多项式相同, 从而A和B的特征值也相同 推论:着n阶矩阵A和B相似,则A的多项式q(4)和B的 多项式φ(B)相似 证明:设存在可逆矩阵P,使得P-AP=B,则P-4P=B 设q(x)=cmm+cmxm1…+c1+c,那么 P-(AP P-ICCnA+CmAI+.+CA+Co)P c P-IAmP+C,P-lA IP+.+Cp-laP+C p-l eP =mBmt Cm Bnr+.+C,B+co e =q(B)

定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk . 设j (x) = cmx m + cm−1x m−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P = P −1 (cmAm + cm−1Am−1 + … + c1A + c0 E) P = cm P −1 Am P + cm−1P −1 A m−1 P + … + c1 P −1 A P + c0 P −1 EP = cmBm + cm−1Bm−1 + … + c1B + c0 E = j (B)

定理:设n阶矩阵A=lng(41,2,…,λn),则1,42,…,λn就 是A的n个特征值 证明: A 故41,A2,…,1元n就是A的n个特征值

定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1 , l2 , …, l n )，则l1 , l2 , …, l n 就 是 L 的 n 个特征值． 证明： 故 l1 , l2 , …, l n 就是 L 的 n 个特征值． 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n E l l l l l l l l l l l l l     L − = =         − − − − − −

定理:若n阶矩阵A和B相似,则A和B的特征多项式相同, 从而A和B的特征值也相同 推论:若n阶矩阵A和B相似,则A的多项式q(4)和B的 多项式φ(B)相似 若n阶矩阵A和n阶对角阵A=ling(41,A2,…,n)相似,则 P(A=PP(AP 从而通过计算(4)可方便地计算φ(4) 若(4)=|AE|

定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1 , l2 , …, l n ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l) = | A−lE |，那么 j (A) = O（零矩阵）. 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n A P P P P j j j j l l l j − −       = L =      

可逆矩阵P,满足PAP=A(对角阵) ?(P:123定理4: AP=PA n阶矩阵A和对角阵相似 当且仅当 A有n个线性无关的特征向量 中1=ip:(i=1,2,…,n) 推论:如果A有n个 A的 对应的 不同的特征值,则A 特征值 特征向量和对角阵相似 其中 12 A(n1,P2…,Pn)=(n,P2…,Dn n

可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 对应的 特征向量 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p l l l       =       其中 ? P.123定理4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量 推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似．