《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）最小方差控制

最小方差控制原理提纲12线性时不变随机系统分析217有理谱分解定理329离散时间随机系统的级数表示433最优预测542最小方差控制653广义最小方差控制CAIYUANLI1

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 1 提 纲 1 线性时不变随机系统分析.2 2 有理谱分解定理.17 3 离散时间随机系统的级数表示.29 4 最优预测.33 5 最小方差控制.42 6 广义最小方差控制.53

最小方差控制原理线性时不变随机系统分析1.1平稳随机信号功率谱密度1.1.1 离散时间信号设(y(k))是一平稳随机序列，其自相关函数为R(k一i)= Ry(n), n=k-i, 即(1.1)Ry(k, i) = Ey(k)y(i) = R,(k - i) = Ry(n)OCAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 2 1 线性时不变随机系统分析  平稳随机信号功率谱密度  离散时间信号 设{𝑦(𝑘)}是一平稳随机序列，其自相关函数为𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑛)，𝑛 = 𝑘 − 𝑖, 即 𝑅𝑦 (𝑘, 𝑖) = 𝐸𝑦(𝑘)𝑦(𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝑦 (𝑛) (1.1)

最小方差控制原理那么e-jnw Ry(n)(1.2)S(w) =n=8定义为该平稳随机序列的功率谱密度，简称为谱密度。（有的资料给出的定义差一个比例常数三。如果R(k－i）=RSki，那么S(w）=R，则称平稳不相关随机序列(y(k))为白噪声序列。【例】设平稳随机序列(y(k,kET的自相关函数为3CAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 3 那么 𝑆𝑦 (𝜔) = ∑ 𝑒 −𝑗𝑛𝜔𝑅𝑦 (𝑛) ∞ 𝑛=−∞ (1.2) 定义为该平稳随机序列的功率谱密度，简称为谱密度。（有 的资料给出的定义差一个比例常数 1 2𝜋 。） 如果𝑅𝑦 (𝑘 − 𝑖) = 𝑅𝛿𝑘𝑖，那么𝑆𝑦 (𝜔) = 𝑅，则称平稳不相 关随机序列{𝑦(𝑘)}为白噪声序列。 【例】设平稳随机序列{𝑦(𝑘), 𝑘 ∈ 𝑇}的自相关函数为

最小方差控制原理r(n) =β2e-αlnl,α > 0试求功率谱密度S,(の)【解】根据定义（注意差异：_2元++0017ZZβ2e-α|nl-jnar(n)e-jnwSy(w2元2元n=-8n=-00@CAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 4 𝑟𝑦 (𝑛) = 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝑛| , 𝛼 > 0 试求功率谱密度𝑆𝑦 (𝜔)。 【解】根据定义（注意差异： 1 2𝜋 ） 𝑆𝑦 (𝜔) = 1 2𝜋 ∑ 𝑟𝑦 (𝑛)𝑒 −𝑗𝑛𝜔 +∞ 𝑛=−∞ = 1 2𝜋 ∑ 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝑛|−𝑗𝑛𝜔 +∞ 𝑛=−∞

最小方差控制原理+00-1β22Ze(α-jw)n +1 +W7el2元n=in=-0β2e-(α-ja)e(-α-ja)1+1-e-(α-ja) +1-e(α-ja)2元β21+e-2α2π1- 2e-α cos +e-2αCAIYUANLI5

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 5 = 𝛽 2 2𝜋 [ ∑ 𝑒 (𝛼−𝑗𝜔)𝑛 −1 𝑛=−∞ + 1 + ∑𝑒 (−𝛼−𝑗𝜔)𝑛 +∞ 𝑛=1 ] = 𝛽 2 2𝜋 [1 + 𝑒 −(𝛼−𝑗𝜔) 1 − 𝑒 −(𝛼−𝑗𝜔) + 𝑒 (−𝛼−𝑗𝜔) 1 − 𝑒 (𝛼−𝑗𝜔) ] = 𝛽 2 2𝜋 1 + 𝑒 −2𝛼 1 − 2𝑒 −𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜔 + 𝑒 −2𝛼

最小方差控制原理1.1.2连续时间信号设y(t)是一平稳随机过程，其自相关函数为R,(t一s)=Ry(t),t =t-s, 即(1.3)Ry(t,s) = Ey(t)y(s) = Ey(t)y(t + t) = R,(t)那么e-jtwRy(t) dt(1.4)Sy(w) =定义为该平稳随机过程的功率谱密度，简称为谱密度。（有的资料给出的定义差一个比例常数二。2元6OCAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 6  连续时间信号 设𝑦(𝑡)是一平稳随机过程，其自相关函数为𝑅𝑦 (𝑡 − 𝑠) = 𝑅𝑦 (𝜏)，𝜏 = 𝑡 − 𝑠, 即 𝑅𝑦 (𝑡, 𝑠) = 𝐸𝑦(𝑡)𝑦(𝑠) = 𝐸𝑦(𝑡)𝑦(𝑡 + 𝜏) = 𝑅𝑦 (𝜏) (1.3) 那么 𝑆𝑦 (𝜔) = ∫ 𝑒 −𝑗𝜏𝜔𝑅𝑦 (𝜏) ∞ −∞ 𝑑𝜏 (1.4) 定义为该平稳随机过程的功率谱密度，简称为谱密度。（有 的资料给出的定义差一个比例常数 1 2𝜋 。）

最小方差控制原理如果R(t)=RS(t)，那么S(w)=R，则称随机过程y(t)为白噪声过程。OCAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 7 如果𝑅𝑦 (𝜏) = 𝑅𝛿(𝜏)，那么𝑆𝑦 (𝜔) = 𝑅，则称随机过程𝑦(𝑡) 为白噪声过程

最小方差控制原理【例】设平稳随机过程y(t)的自相关函数为r(t) =β2e-αltl,α > 0试求功率谱密度S,(w)【解】根据定义（注意差异：）T+811β?e-αltl-jwtdtry(t)e-jwtdt :S(w2元2元β22α2元2+α2OCAIYUANLIX

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 8 【例】设平稳随机过程𝑦(𝑡)的自相关函数为 𝑟𝑦 (𝜏) = 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝜏| , 𝛼 > 0 试求功率谱密度𝑆𝑦 (𝜔)。 【解】根据定义（注意差异： 1 2𝜋 ） 𝑆𝑦 (𝜔) = 1 2𝜋 ∫ 𝑟𝑦 (𝜏)𝑒 −𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 +∞ −∞ = 1 2𝜋 ∫ 𝛽 2𝑒 −𝛼|𝜏|−𝑗𝜔𝜏𝑑𝜏 +∞ −∞ = 𝛽 2 2𝜋 2𝛼 𝜔2 + 𝛼 2

最小方差控制原理连续时间LTI系统1.2设连续时间LTI（线性时不变）系统的输入为x(t)，输出为y(t)，系统的单位冲击响应为(t)，那么h(t - t)x(t)dty(t) = (t) * x(t) =o0-t(1.5)h(t -t)x(t)dt由上式不难验证，如果输入x(t)是平稳随机过程，输出CAIYUANLI9

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 9  连续时间 LTI 系统 设连续时间 LTI（线性时不变）系统的输入为𝑥(𝑡)，输 出为𝑦(𝑡)，系统的单位冲击响应为ℎ(𝑡)，那么 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑥(𝜏)𝑑𝜏 +∞ −∞ = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑥(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.5) 由上式不难验证，如果输入𝑥(𝑡)是平稳随机过程，输出

最小方差控制原理y(t)也是平稳随机过程。由系统单位冲击响应可得系统的传递函数H(s) = α[(t)] = /h(t)e-st dt(1.6)T进一步地Ry(t) = h(t) * Rxy(t)+o0h(t - t)Rxy(t)dto((1.7)h(t - t)Rxy(t)dt10OCAIYUANLI

最小方差控制原理 © CAI YUANLI 10 𝑦(𝑡)也是平稳随机过程。 由系统单位冲击响应可得系统的传递函数 𝐻(𝑠) = 𝔏[ℎ(𝑡)] = ∫ ℎ(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡𝑑𝑡 +∞ −∞ (1.6) 进一步地 𝑅𝑦 (𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑅𝑥𝑦(𝑡) = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑅𝑥𝑦(𝜏)𝑑𝜏 +∞ −∞ = ∫ ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑅𝑥𝑦(𝜏)𝑑𝜏 𝑡 0 (1.7)