《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）相关噪声与成形滤波器

相关噪声与成形滤波器 Yuan-Li Cai Faculty of Elect.& Info. Eng. Xi'an Jiaotong University Spring 2022 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 相关噪声与成形滤波器 Yuan-Li Cai Faculty of Elect.& Info. Eng. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1 / 20 Xi’an Jiaotong University Spring 2022

本讲概述Outline过程噪声与量测噪声互相关1有色过程噪声2有色量测噪声3Daa口Prof.Yuan-LiCai(XJTU)LFiltearing20202/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 本讲概述 Outline 1 过程噪声与量测噪声互相关 2 有色过程噪声 3 有色量测噪声 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 2 / 20

本讲概述相关噪声在标准卡尔曼滤波算法中，假设过程噪声、量测噪声都是不相关的随机序列，而且认为两者也是互不相关的.存在如下三种可能的情况：过程噪声与量测噪声互相关过程噪声是有色噪声：量测噪声是有色噪声此时，需要对标准卡尔曼滤波算法进行必要改造。o口ProfY20203/20eai(XTU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 本讲概述 相关噪声 在标准卡尔曼滤波算法中，假设过程噪声、量测噪声都是不相关的随机序列，而且认为两 者也是互不相关的. 存在如下三种可能的情况： ♠ 过程噪声与量测噪声互相关； ♠ 过程噪声是有色噪声； ♠ 量测噪声是有色噪声. 此时，需要对标准卡尔曼滤波算法进行必要改造。 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 3 / 20

过程噪声与量测噪声互相关互相关随机序列考察状态方程和量测方程+1=Φ+1,kk++1,kuk+FWYk+1 = H+1Tk+1 + Uk+1当过程噪声与量测噪声是互相关随机序列时，这里是指(1)Ewuf=Chon式中，Ck≠0.QProf.Yuan-LiCai(XJTU)20204/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 互相关随机序列 考察状态方程和量测方程 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 当过程噪声与量测噪声是互相关随机序列时，这里是指 Ewkv T j = Ckδkj (1) 式中，Ck ̸= 0. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 4 / 20

过程噪声与量测噪声互相关（YCHo）方法何毓琦实施等效变换+1=Φ+1,++1,u+Fwk+J[k-Hk-][Φ+1,k-JH]+k+1,kuk+Jhyk+Iwk-JhkwuΦ+1.k如果取J=C,那么E>=[[-J]=0DQ3ProfYXITU8.2020120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 何毓琦（Y C Ho）方法 实施等效变换 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk + Jk[yk − Hkxk − vk] = [Φk+1,k − JkHk] | {z } Φ∗ k+1,k xk + Ψk+1,kuk + Jkyk | {z } u ∗ k + Γkwk − Jkvk | {z } w∗ k 如果取 Jk = ΓkCkR −1 k , 那么 E = E{[Γkwk − Jkvk]v T k ]} = 0. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 5 / 20

过程噪声与量测噪声互相关等效系统(2)+1=+1k++w(3)yk+1= Hk+12k+1+Uk+1式中：雪+1k=Φ+1,k-JHku=k+1,kuk+Jeykw=Thwk-Jkvk而且Ew,=,Ew-J,E=0Q=var(wt)=FQFT-JCTTEwiu=0, EwtrT =0Daans2020ProfYCITuLFilter6/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 等效系统 xk+1 = Φ∗ k+1,k xk + u ∗ k + w ∗ k (2) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (3) 式中: Φ ∗ k+1,k = Φk+1,k − JkHk u ∗ k = Ψk+1,kuk + Jkyk w ∗ k = Γkwk − Jkvk 而且 Ew∗ k = ΓkEwk − JkEvk = 0 Q ∗ k = var(w ∗ k ) = ΓkQkΓ T k − JkC T k Γ T k Ew∗ k v T k = 0, Ew∗ k x T 0 = 0 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 6 / 20

过程噪声与量测噪声互相关一步预测相关计算观察等效系统，可见仅一步预测计算需要修正。(4)+1k=+1+k=+1,k++1,k+J[yk-H(5)P+1k=Φ+1,P午1,+Q=[@+1,-JH]PM[+1,k-JHAT+IQT-JCTT如预期的那样，当Ck=EwT=0时，滤波算法退化为标准卡尔曼滤波算法DQ3ProfYiCai(XJTU)20207/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 一步预测相关计算 观察等效系统，可见仅一步预测计算需要修正。 ˆxk+1|k = Φ∗ k+1,k ˆxk|k + u ∗ k (4) = Φk+1,kˆxk|k + Ψk+1,kuk + Jk[yk − Hkˆxk|k ] Pk+1|k = Φ∗ k+1,kPk|kΦ ∗T k+1,k + Q ∗ k (5) = [Φk+1,k − JkHk]Pk|k [Φk+1,k − JkHk] T + ΓkQkΓ T k − JkC T k Γ T k 如预期的那样，当 Ck = Ewkv T k = 0 时，滤波算法退化为标准卡尔曼滤波算法. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 7 / 20

过程噪声与量测噪声互相关过程噪声与量测噪声互相关时的卡尔曼滤波算法状态方程+1=Φ+1.k+k+1.uk+IWk量测方程yk+1= Hk+1ak+1 + Uk+1滤波初值20lo=Eao=moPojo = var[20] = Po辅助增益J=CR-其中Ck=Ew一步预测k+k=+1,kk++1,k+J[yk-HA]P+1=[++1,K-JH]P[+1,k-JH]T+QFT-JCTT滤波增益Kk+1 = Pk+1HT+[H+1Ph+1H+1 + Rt+1]-滤波计算+1]+1=k+1]+Kk+1[3/k+1-Hk+1k+1]]Pk+1/+1 = [1- Kk+1H+1] Pk+1/kQQQ6202iCaiXITU8/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 过程噪声与量测噪声互相关时的卡尔曼滤波算法 状态方程 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk 量测方程 yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 滤波初值 ˆx0|0 = Ex0 = m0 P0|0 = var[x0] = P0 辅助增益 Jk = ΓkCkR −1 k , 其中 Ck = Ewkv T k 一步预测 ˆxk+1|k = Φk+1,kˆxk|k + Ψk+1,kuk + Jk[yk − Hkˆxk|k ] Pk+1|k = [Φk+1,k − JkHk]Pk|k [Φk+1,k − JkHk] T + ΓkQkΓ T k − JkC T k Γ T k 滤波增益 Kk+1 = Pk+1|kHT k+1[Hk+1Pk+1|kHT k+1 + Rk+1] −1 滤波计算 ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1[yk+1 − Hk+1ˆxk+1|k ] Pk+1|k+1 = [I − Kk+1Hk+1]Pk+1|k Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 8 / 20

过程噪声与量测噪声互相关基于一步预测的滤波算法将带入一步预测+1=+1, [k-1 + K(k- HH-1)]++1,kuk+Je(yk-H[k-1+K(yk-Hk-1)])=+1,k-1 +k+1, uk+(@+1,K+J-J,H,K)(yk-HaHk-1)AKE将K代入修正卡尔曼增益K，即K=Φ+1K+J-JHK=[+1,P-1+J[P-+R]-JPH-P-+R]=[@k+1,Pk-1HT+ JR[HPAk-1H+R]-1=[Φh+1,PAk-1HT+IxCA[HPHk-1HT+RA]-Prof.YuCai(XJTU9120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 基于一步预测的滤波算法 将 ˆxk|k 带入一步预测 ˆxk+1|k = Φk+1,k[ˆxk|k−1 + Kk(yk − Hkˆxk|k−1 )] +Ψk+1,kuk + Jk{yk − Hk[ˆxk|k−1 + Kk(yk − Hkˆxk|k−1 )]} = Φk+1,kˆxk|k−1 + Ψk+1,kuk + (Φk+1,kKk + Jk − JkHkKk) | {z } ,K − k (yk − Hkˆxk|k−1 ) 将 Kk 代入修正卡尔曼增益 K − k , 即 K − k = Φk+1,kKk + Jk − JkHkKk = {Φk+1,kPk|k−1H T k + Jk[HkPk|k−1H T k + Rk] − JkHkPk|k−1H T k }[HkPk|k−1H T k + Rk] −1 = [Φk+1,kPk|k−1H T k + JkRk][HkPk|k−1H T k + Rk] −1 = [Φk+1,kPk|k−1H T k + ΓkCk][HkPk|k−1H T k + Rk] −1 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 9 / 20

过程噪声与量测噪声互相关一步预测与预测误差一步预测方程可以改写为(6)+k=+1,-1++1,+K(k-H-1)K=[+1,PK-+C[HP-1+R]-1(7)考虑到+1=+1-+1]k=Φ+1+亚+1,u+FWk+1,-1+1,-K(K-H-1)即+1=[+1,-K]-1+k-KRDQ3ProfYCaiXITuFilte202010/20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 过程噪声与量测噪声互相关 一步预测与预测误差 一步预测方程可以改写为 ˆxk+1|k = Φk+1,kˆxk|k−1 + Ψk+1,kuk + K − k (yk − Hkˆxk|k−1 ) (6) K − k = [Φk+1,kPk|k−1H T k + ΓkCk][HkPk|k−1H T k + Rk] −1 (7) 考虑到 ˜xk+1|k = xk+1 − ˆxk+1|k = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk −Φk+1,kˆxk|k−1 − Ψk+1,kuk − K − k (yk − Hkˆxk|k−1 ) 即 ˜xk+1|k = [Φk+1,k − K − k Hk]˜xk|k−1 + Γkwk − K − k vk Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 10 / 20