《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）非线性系统滤波算法——Nonlinear Filtering

『非线性滤波算法』Dr. Yuan-Li CaiSpring 2023

pink 『非线性滤波算法』 Dr. Yuan-Li Cai Spring 2023

0.Outline非线性贝叶斯滤波理论/3/16基于标称状态的线性化滤波方法/ 23扩展卡尔曼滤波递代扩展卡尔曼滤波／30Unscented Kalman Filter(UKF) / 33粒子滤波（PF）／34O

0. Outline 1 非线性贝叶斯滤波理论 / 3 2 基于标称状态的线性化滤波方法 / 16 3 扩展卡尔曼滤波 / 23 4 递代扩展卡尔曼滤波 / 30 5 Unscented Kalman Filter(UKF) / 33 6 粒子滤波 (PF) / 34

OUTLINE【非线性滤波算法】我们在实际应用中遇到的系统绝大多数都是非线性的，此时的状态估计远比线性系统要复杂和困难。和线性系统类似，非线性系统的状态估计也可以分为预测、滤波和平滑三类。这里我们仅讨论若干非线性系统的滤波问题。2/35Dr. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

OUTLINE 『非线性滤波算法』 我们在实际应用中遇到的系统绝大多数都是非线性的，此时的状态估 计远比线性系统要复杂和困难。和线性系统类似，非线性系统的状态估计 也可以分为预测、滤波和平滑三类。这里我们仅讨论若干非线性系统的滤 波问题。 Dr. Yuan-Li Cai 2/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法』非线性贝叶斯滤波理论11.非线性贝叶斯滤波理论这是一种具有重要理论价值的方法，但在实际应用中有相当的困难。3/35Dr. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 1. 非线性贝叶斯滤波理论 这是一种具有重要理论价值的方法，但在实际应用中有相当的困难。 Dr. Yuan-Li Cai 3/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法』非线性贝叶斯滤波理论11.1问题描述贝叶斯滤波主要考虑如下形式的非线性系统(1)Xk+1 = g(xk,uk, k) +wk(2)yk+1 = h(xk+1, uk+1, k + 1) + Vk+1这里考虑的是加性噪声。假设1.[uk}是确定性的输入;2.wk]、{V]和xo相互独立，【w]和【vk都是白噪声序列4/35Dr.Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 1.1 问题描述 贝叶斯滤波主要考虑如下形式的非线性系统 xk+1 = g(xk, uk, k) + wk (1) yk+1 = h(xk+1, uk+1, k + 1) + vk+1 (2) 这里考虑的是加性噪声。 假设 1. {uk} 是确定性的输入； 2. {wk}、{vk} 和 x0 相互独立，{wk} 和 {vk} 都是白噪声序列； Dr. Yuan-Li Cai 4/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法]1非线性贝叶斯滤波理论3.Wk的概率分布密度函数为fu(wk)4.Vk的概率分布密度函数为f(vk);5.xo的概率分布密度函数为f(xo)贝叶斯滤波就是在给定量测Y={y1,y2，".·,yk)下，根据f(xo）求Xk的验后概率分布密度函数f（x/Yk)。5/35Dr.Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 3. wk 的概率分布密度函数为 fw(wk)； 4. vk 的概率分布密度函数为 fv(vk)； 5. x0 的概率分布密度函数为 fx(x0)； 贝叶斯滤波就是在给定量测 Yk 1 = {y1, y2, · · · , yk} 下，根据 fx(x0) 求 xk 的验后概率分布密度函数 fx(xk|Yk 1 )。 Dr. Yuan-Li Cai 5/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法]1非线性贝叶斯滤波理论1.2切普曼一郭尔莫洛夫方程设【x(t))是一随机过程，对于任意的正整数㎡，如果随机向量[x(ti),x(t2),...,x(tm)]T=[x1,x2,..,Xm]]的条件概率密度满足(3)f(xm|xm-1,Xm-2,***,X1)=f(xmxm-1)那么称x(t)1为一阶马尔科夫过程。其中ti～tm是任意选取的f(xmxm-1）称为一步转移概率密度函数，f(xmxm-l）称为l步转移概率密度函数。6/35Dr. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 1.2 切普曼—郭尔莫洛夫方程 设 {x(t)} 是一随机过程，对于任意的正整数 m，如果随机向量 [x(t1), x(t2), · · · , x(tm)]T = [x1, x2, · · · , xm] T 的条件概率密度满足 f(xm|xm−1, xm−2, · · · , x1) = f(xm|xm−1) (3) 那么称 {x(t)} 为一阶马尔科夫过程。其中 t1 ∼ tm 是任意选取的, f(xm|xm−1) 称为一步转移概率密度函数，f(xm|xm−l) 称为 l 步转移概率密 度函数。 Dr. Yuan-Li Cai 6/35 Xi’an Jiaotong University

【非线性滤波算法】非线性贝叶斯滤波理论对于马尔科夫过程，根据贝叶斯法则易得f(xm,Xm-1,Xm-2,*..,X1)=f(xmxm-1,Xm-2,*..,X1)f(xm-1,Xm-2,**,X1)=f(xmxm-1)f(xm-1|xm-2)..·f(x2x1)f(x1)m:(4)= f(x1) f(xk+1/xx)k=1另外，由边缘密度函数计算可知to(5)f(xm,xm-1,xm-2)dxm-1=f(xm,Xm-2)X7/35Dr. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 对于马尔科夫过程，根据贝叶斯法则易得 f(xm, xm−1, xm−2, · · · , x1) = f(xm|xm−1, xm−2, · · · , x1)f(xm−1, xm−2, · · · , x1) = f(xm|xm−1)f(xm−1|xm−2)· · · f(x2|x1)f(x1) = f(x1) mY−1 k=1 f(xk+1|xk) (4) 另外，由边缘密度函数计算可知 Z +∞ −∞ f(xm, xm−1, xm−2)dxm−1 = f(xm, xm−2) (5) Dr. Yuan-Li Cai 7/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法』非线性贝叶斯滤波理论即f(xm|xm-1)f(xm-1|xm=2)f(xm=2)dxm-1oX(6)=f(xmxm-2)f(xm-2)所以(7)f(xm|xm-2) f(xm|xm-1)f(xm-1/xm-2)dxm-1这就是著名的切普曼一郭尔莫洛夫方程。8/35Dr. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 即 Z +∞ −∞ f(xm|xm−1)f(xm−1|xm−2)f(xm−2)dxm−1 = f(xm|xm−2)f(xm−2) (6) 所以 f(xm|xm−2) = Z +∞ −∞ f(xm|xm−1)f(xm−1|xm−2)dxm−1 (7) 这就是著名的切普曼—郭尔莫洛夫方程。 Dr. Yuan-Li Cai 8/35 Xi’an Jiaotong University

『非线性滤波算法』非线性贝叶斯滤波理论1更一般地，可以表示为(8)f(xm|xm-1)f(xm/xm-1)f(xm-1|xm-1)dxm-1切普曼一郭尔莫洛夫方程给出了求一步或多步转移概率函数的方法。9/35Dr. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

1 非线性贝叶斯滤波理论 『非线性滤波算法』 更一般地，可以表示为 f(xm|xm−l) = Z +∞ −∞ f(xm|xm−1)f(xm−1|xm−l)dxm−1 (8) 切普曼—郭尔莫洛夫方程给出了求一步或多步转移概率函数的方法。 Dr. Yuan-Li Cai 9/35 Xi’an Jiaotong University