《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（PPT讲稿）随机过程基础

相关基础知识回顾与补充概率论线性系统随机过程理论泛函分析矩阵分析PROFESSORCAYUANLIXran Jiaotong University

相关基础知识回顾与补充 概率论 随机过程 泛函分析 矩阵分析 线性系统 理论 Xi'an Jiaotong University PROFESSOR CAIYUANLI 1

随机过程基础Definition3.2.1（随机过程）.给定概率空间（2,，P）和参数集TC（-oo，+oo)，若对于每个wE2和tET都有一个定义在概率空间上的随机向量&(,t）与它对应，则称依赖于参数t的随机变向量a(2,t),tET为（向量）随机过程.简单记为(a（t),tET)或a(t)理论上我们需要研究所有可能的联合分布函数F(ci,a2,...,am;ti,t2,...,tm),Vm≥1.PROFESSORCAYUANLIxran JiaotongUniversity

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随机过程的数字特征Definition3.2.2（随机过程的数学期望).设【a(t),tET)是一个随机过程，如果对每一个tET，随机向量a（t）的均值都存在，则称af(a,t)dac(3.44)E[c(t)] =(t) =为随机过程ac(t),tET)的数学期望或均值.也记为Ea(t)或mx(t)PROFESSORCAIYUANLIXran Jiaotong University

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Definition3.2.3（随机过程的协方差）.设a（t),tET是一个随机过程，如果对每一个tET，随机向量a（t）的协方程矩阵存在，则称(3.45)Px(t) = E[α(t) -a(t)][a(t) -a(t)]T为随机过程(a(t),tET)的协方差矩阵.有时也记为Cx(t)对于一维随机过程(a(t),tET，上述协方差称为随机过程(t),tET的方差函数，经常记为o(t)或Dx(t).而ax（t)=VDx（t)称为随机过程【a(t)，tET)的均方差函数Xran JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI

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Definition3.2.4（自相关与自协方差矩阵）.对任意的两个时刻ti，t2，称Rx(t1,t2) = E[c(t1)][(t2)]T(3.46)为随机过程a（t),tET的自相关函数矩阵.称Cx(t1,t2) = E[α(t1) -mx(t1)[α(t2) -mx(t2)]7(3.47)为随机过程a（t),tET的自协方差函数矩阵Xran JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI

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Definition3.2.5(互相关与互协方差矩阵).设{a(t)，tET)和(y(t),tET)是两个随机过程，对任意的两个时刻t1,t2，称(3.48)Rxy(ti,t2)=E[α(ti)l[y(t2)]为随机过程a(t),tET)与(y(t),tET)的互相关函数矩阵.称(3.49)Cxy(ti,t2) = E[α(ti)-mx(ti)][Y(t2)-my(t2)]7为随机过程(a(t),tET)与(y(t),teT)的互协方差函数矩阵Xran Jiaotong UniversityPROFESSORCAYUANLI6

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Definition3.2.6（随机过程之间的相关性）对任意的t，TET，若E[c(t)yT(T)) = Ea(t)EyT(T)(3.50)或等价地Cxy(t,T)=O,则称随机过程[a(t),tET)和(y(t),tET)不相关若Rxy(t,T)=O，则称a(t),tET与(y(t),tET正交Definition3.2.7（随机过程之间的独立性）.对任意的t，TET，若(3.51)Fxy[c(t),y(T)] =Fx[a(t)]Fy[y(T)]或者fxy[c(t),y(-)] =fx[a(t)]fy[y(-)],则称随机过程a(t),tET)与(y(t),tET)相互独立,其中Fxy）和fxY（）分别为联合分布函数及联合概率密度函数，Fx,Fy）和fx，fy分别为对应的边缘分布函数及边缘概率密度Xran Jiaotong UniversityPROFESSORCAIYUANLI

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平稳性与遍历性Definition3.2.8（严平稳随机过程).设{a(t),tET)是一个随机过程，若对任意正整数m，任意ti,t2,.,tmET及使ti+T,t2+T,,tm+TET的T,随机向量族a(ti),a(t2),.,a(tm）的联合分布函数与a(ti十T),a（t2+T)，，a（tm十T）的联合分布函数满足(3.52)F(c1,a2,**,am;ti,t2,..,tm)=F(a1,2,.*,am;ti+T,t2+T,.**,tm+T)则称（t），tET是严格平稳随机过程，简称严平稳随机过程Definition3.2.9(二阶矩过程).设a(t),tET)是一个随机过程，若Ea(t)/2≤+oo，则称【a(t),tET)是二阶矩随机过程PROFESSORCAYUANLIXran JiaotongUniversity

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Definition3.2.10（宽平稳随机过程）.设【ac（t)，tET是一个二阶矩随机过程，若(1）Ea(t)=a(t)=mx（不随时间变化)；(2) Ea(t)αT(t + T) = Rx(T), Vt E T, T ≥ 0.则称【a（t)，tET是宽平稳随机过程，简称平稳随机过程对宽平稳随机过程，显然有Rx() = Ec(t)aT(t)Rx(-T) = Rx(T)对应标量随机过程(a（t),tET,则有Rx（)/≤RxO)Xian JiaotongUniversityPROFESSORCAIYUANLI

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Definition3.2.11（谱密度）.设Rx（T）是平稳随机过程c（t）的相关函数，那么+8Rx(T)e-jwTdTΦx(w) =8称为随机过程（t）的谱密度上述谱密度在文献中也称为功率谱、功率密度谱、功率谱密度或功率密度X1px (w)ejwTdwRx(T)三2元X合称为维纳-辛钦（Wiener一Khintchine）公式10PROFESSORCAYUANLIranJiaotongUniversity

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