《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）线性最优平滑算法 Optimal Smoother

线性最优平滑算法Prof. Yuan-Li CaiSpring2023

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0.Outline3最优平滑器的一般形式8最优固定区间平滑/ 26最优固定点平滑35最优固定延迟平滑5计算示例/ 40

0. Outline 1 最优平滑器的一般形式 / 3 2 最优固定区间平滑 / 8 3 最优固定点平滑 / 26 4 最优固定延迟平滑 / 35 5 计算示例 / 40

OUTLINE线性最优平滑算法简单地讲，平滑是指利用(O,NI区间的量测数据对tE[O,NI时刻动态系统的状态进行估计。与滤波算法相比，平滑估计是非实时的。平滑问题可以分为三类：1.固定区间平滑2.固定点平滑，3.固定延迟平滑。以上三类平滑问题分别具有不同的应用背景，后面两类具有建立递推算法的可能，即N可以不断增长。2/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

OUTLINE 线性最优平滑算法 简单地讲，平滑是指利用 (0, N] 区间的量测数据对 t ∈ [0, N] 时刻动态 系统的状态进行估计。与滤波算法相比，平滑估计是非实时的。 平滑问题可以分为三类： 1. 固定区间平滑； 2. 固定点平滑； 3. 固定延迟平滑。 以上三类平滑问题分别具有不同的应用背景，后面两类具有建立递推 算法的可能，即 N 可以不断增长。 Prof. Yuan-Li Cai 2/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法最优平滑器的一般形式1.最优平滑器的一般形式X(tIM)XETFigurel:最优平滑器如图1所示，记基于量测信息yi(0<j≤t）的状态最优估计为t、基于量测信息yi（t<j≤N）的状态最优估计为混+1。鼠称为前向滤波3/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

1 最优平滑器的一般形式 线性最优平滑算法 1. 最优平滑器的一般形式 Figure 1: 最优平滑器 如图1所示，记基于量测信息 yj (0 < j ≤ t) 的状态最优估计为 xˆ F t|t、基 于量测信息 yj (t < j ≤ N) 的状态最优估计为 xˆ B t|t+1。xˆ F t|t 称为前向滤波 Prof. Yuan-Li Cai 3/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法最优平滑器的一般形式L估计，+1称为反向滤波估计。另外，设它们的估计误差协方差分别为PF=PF和PB=Pl+It/t+10基于量测信息y;(O<j≤N）的状态最优估计，即最优平滑tIN，一般形式为(1)N=A+B+1式中A.B是待定加权矩阵。根据最优估计的无偏性要求，易知(2)A+B=I4/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

1 最优平滑器的一般形式 线性最优平滑算法 估计，xˆ B t|t+1 称为反向滤波估计。另外，设它们的估计误差协方差分别为 P F t = P F t|t 和 P B t = P B t|t+1。 基于量测信息 yj (0 < j ≤ N) 的状态最优估计, 即最优平滑 xˆt|N , 一般 形式为 xˆt|N = Axˆ F t|t + Bxˆ B t|t+1 (1) 式中 A, B 是待定加权矩阵。 根据最优估计的无偏性要求，易知 A + B = I (2) Prof. Yuan-Li Cai 4/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法最优平滑器的一般形式所以（1）可以表示为(3)N=A+(I-A)+1由此可得平滑估计的误差协方养差PIN = APFAT + (I - A)PB(I - A)T(4)为了使平滑估计的均方误差最小，要求Otr[Ptn]=0(5)QA注意到一般公式Otr[ABAT]2AB(6)aA5/49Prof. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

1 最优平滑器的一般形式 线性最优平滑算法 所以 (1) 可以表示为 xˆt|N = Axˆ F t|t + (I − A)ˆx B t|t+1 (3) 由此可得平滑估计的误差协方差 Pt|N = AP F t A T + (I − A)P B t (I − A) T (4) 为了使平滑估计的均方误差最小，要求 ∂tr[Pt|N ] ∂A = 0 (5) 注意到一般公式 ∂tr[ABAT ] ∂A = 2AB (6) Prof. Yuan-Li Cai 5/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法最优平滑器的一般形式由（4)可得出A = PB(PF + pB)-1(7)I -A= PF(PF+PB)-(8)于是可知最优平滑估计的误差协方差矩阵为(9)PiN = [(PF)-1 +(PB)-1)-也可以表达为(10)PIN = (PF)-1 + (PB)-1该式说明平滑估计精度总要优于滤波估计精度。6/49Prof. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

1 最优平滑器的一般形式 线性最优平滑算法 由 (4) 可得出 A = P B (P F + P B ) −1 (7) I − A = P F (P F + P B ) −1 (8) 于是可知最优平滑估计的误差协方差矩阵为 Pt|N = [(P F t ) −1 + (P B t ) −1 ] −1 (9) 也可以表达为 P −1 t|N = (P F t ) −1 + (P B t ) −1 (10) 该式说明平滑估计精度总要优于滤波估计精度。 Prof. Yuan-Li Cai 6/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法最优平滑器的一般形式1最后我们可得最优平滑的一般公式N = Pa[(PF)- + (PB)-+1](11)PIN = (PF)-1 + (PB)-1(12)7/49Prof.Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

1 最优平滑器的一般形式 线性最优平滑算法 最后我们可得最优平滑的一般公式 xˆt|N = Pt|N [(P F t ) −1xˆ F t|t + (P B t ) −1xˆ B t|t+1] (11) P −1 t|N = (P F t ) −1 + (P B t ) −1 (12) Prof. Yuan-Li Cai 7/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法2最优固定区间平滑2.最优固定区间平滑考虑如下离散时间随机系统(13)T+1 = Φk+1,kk +TkWk(14)Yk+1= Hk+1k+1+ Uk+1其中，Wk～（0,Q）与Uk～（0,R）是不相关的独立噪声序列，它们与初始状态Co～（o,Po）不相关。另外，设Qk≥0,Rk>0。8/49Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 2. 最优固定区间平滑 考虑如下离散时间随机系统: xk+1 = Φk+1,kxk + Γkwk (13) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (14) 其中，wk ∼ (0, Qk) 与 vk ∼ (0, Rk) 是不相关的独立噪声序列，它们与初始 状态 x0 ∼ (x0, P0) 不相关。另外，设 Qk ≥ 0, Rk > 0。 Prof. Yuan-Li Cai 8/49 Xi’an Jiaotong University

线性最优平滑算法2最优固定区间平滑2.1前向滤波器基于量测信息y(O<i≤t)的状态估计显然就是标准卡尔曼滤波器的输出。所以，可以直接建立如下前向滤波器：+1 = 更+1(15)P+1 =@+1A Pl+1+ +TAQATT(16)(17)K+1 =PF+1/HT+[Hk+1P+1HT+1 + Rk+1]-1+1+1=++K+[+1H+1+](18)P++1 = [ K+ H++1] P+(19)20o = Zo, P0o = Po(20)9/49Prof. Yuan-Li CaiXian JiaotongUniversity

2 最优固定区间平滑 线性最优平滑算法 2.1 前向滤波器 基于量测信息 yj (0 < j ≤ t) 的状态估计 xˆ F t|t 显然就是标准卡尔曼滤波 器的输出。所以，可以直接建立如下前向滤波器： xˆ F k+1|k = Φk+1,kxˆ F k|k (15) P F k+1|k = Φk+1,kP F k|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k (16) KF k+1 = P F k+1|kH T k+1[Hk+1P F k+1|kH T k+1 + Rk+1] −1 (17) xˆ F k+1|k+1 = ˆx F k+1|k + KF k+1[yk+1 − Hk+1xˆ F k+1|k ] (18) P F k+1|k+1 = [I − KF k+1Hk+1]P F k+1|k (19) xˆ F 0|0 = ¯x0, P F 0|0 = P0 (20) Prof. Yuan-Li Cai 9/49 Xi’an Jiaotong University