《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）卡尔曼滤波器性能分析

卡尔曼滤波器性能分析 Yuan-Li Cai Faculty of Elect.& Info. Eng. Xi'an Jiaotong University Spring 2022 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 卡尔曼滤波器性能分析 Yuan-Li Cai Faculty of Elect.& Info. Eng. Xi’an Jiaotong University Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 1 / 17 Spring 2022

本讲概述Outline定性分析A稳定性分析2稳态性能oao4Linear Optimal FilteringSpring2020Prof.Yuan-LiCai(XJTU2/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 本讲概述 Outline 1 定性分析 2 稳定性分析 3 稳态性能 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 2 / 17

定性分析定性分析，在高斯分布统计特性假设下，滤波估计值是状态以的无偏最小方差估计，而且PA就是基于测量值y1，32，，的所有估计中最小的均方误差矩阵，卡尔曼滤波算法对非高斯假设亦适用，此时是所有线性估计中均方误差最小的无偏最优估计，但不是所有估计中的最优估计考察卡尔曼增益公式Kk+1=P+1|k+1Hk+1R+上式说明，滤波增益“正比于”滤波的不确定性，滤波增益“反比于”量测的不确定性ipao4Prof.YuLiCai(XJTUnearOotimaiFilterining20203/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定性分析 定性分析 ♠ 在高斯分布统计特性假设下，滤波估计值 ˆxk|k 是状态 xk 的无偏 最小方差估计，而且 Pk|k 就是 xk 基于测量值 y1, y2, · · · , yk 的所 有估计中最小的均方误差矩阵. ♠ 卡尔曼滤波算法对非高斯假设亦适用，此时 ˆxk|k 是所有线性估计 中均方误差最小的无偏最优估计，但不是所有估计中的最优估计. ♠ 考察卡尔曼增益公式 Kk+1 = Pk+1|k+1Hk+1R −1 k+1 上式说明，滤波增益“正比于”滤波的不确定性，滤波增益“反 比于”量测的不确定性. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 3 / 17

定性分析定性分析考察状态估计方差矩阵P+1=Φh+1,PAΦT+1,+TQTPk+1]+1 =[I -K++1Hk+1]P+1]k可见，当过程噪声Q+1较大时，一步预测与滤波精度都会变小说明提高模型的精度，将有益于状态的估计再由滤波方差矩阵公式可得(1)P++1 = PP++ H+R+H+1上式说明，大的测量噪声R1将使滤波精度下降。所以，大的测量噪声与大的过程噪声对滤波都是不利的，这和我们的直观感觉是一致的Prof.Yuan-LiCai(XJTUinearOptimal Filteringpring20204/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定性分析 定性分析 ♠ 考察状态估计方差矩阵 Pk+1|k = Φk+1,kPk|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k Pk+1|k+1 = [I − Kk+1Hk+1]Pk+1|k 可见，当过程噪声Qk+1 较大时，一步预测与滤波精度都会变小. 说明提高模型的精度，将有益于状态的估计. ♠ 再由滤波方差矩阵公式可得 P −1 k+1|k+1 = P −1 k+1|k + H T k+1R −1 k+1Hk+1 (1) 上式说明，大的测量噪声Rk+1 将使滤波精度下降。所以，大的测 量噪声与大的过程噪声对滤波都是不利的，这和我们的直观感觉 是一致的. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 4 / 17

定性分析定性分析卡尔曼滤波公式算法结构为滤波值一步预测值十修正项这暗喻滤波的精度将高于预测的精度。其实，从（1）式也可得出P+14+1 > Pr+1, 即 Pa+11+1 P+1k:除了一步预测，可以非常容易地建立任意步的预测。不考虑确定性控制项时，即为VN> k.K=NDao-4.LinearOptimalFilterinProf.YuiCai(XJTUSpring20205/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定性分析 定性分析 ♠ 卡尔曼滤波公式算法结构为： 滤波值 = 一步预测值 + 修正项. 这暗喻滤波的精度将高于预测的精度。其实，从 (1) 式也可得出 P −1 k+1|k+1 > P −1 k+1|k，即 Pk+1|k+1 k. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 5 / 17

定性分析离线计算综合考虑卡尔曼滤波增益与方差Kk+1=Pk+1/k+1Hk+1R-+Pk+1k=Φk+1,kPA4T+1.k+TQkFTPk+1]k+1 = [1- Kk+1Hk+1]Pk+1]k可见，对于给定的系统，如果事先知道Po、Qk、Rk，那么上述卡尔曼滤波增益与方差可以”离线（off-line)”预先计算，从而减小在线计算量。Dao4earOptimalFilterinrof.YuiCai(XJTUoprine20206/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定性分析 离线计算 ♠ 综合考虑卡尔曼滤波增益与方差 Kk+1 = Pk+1|k+1Hk+1R −1 k+1 Pk+1|k = Φk+1,kPk|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k Pk+1|k+1 = [I − Kk+1Hk+1]Pk+1|k 可见，对于给定的系统，如果事先知道 P0、Qk、Rk，那么上述卡 尔曼滤波增益与方差可以” 离线 (off-line)” 预先计算，从而减小 在线计算量。 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 6 / 17

稳定性分析一步预测独立递推算法将=-1+K[-H-1]代入一步预测部分可得+1k=+1,+亚+1,k=+1,[-1 +K[yk-Hkk-1]) +亚+1,kuk=+1,-1 ++1,K[yk-Hk-1] ++1,uk将PM=[I-K,H]PHk-1代入一步预测方差有Pk+1=h+1,PAT+1.k+IQFT=+1,PH-1+1,k-+1,HPH-1T+1.+QoaoearOptimal FilterinCaiXTuSpring20207/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 稳定性分析 一步预测独立递推算法 将 ˆxk|k = ˆxk|k−1 + Kk[yk − Hkˆxk|k−1 ] 代入一步预测部分可得： ˆxk+1|k = Φk+1,kˆxk|k + Ψk+1,kuk = Φk+1,k{ˆxk|k−1 + Kk[yk − Hkˆxk|k−1 ]} + Ψk+1,kuk = Φk+1,kˆxk|k−1 + Φk+1,kKk[yk − Hkˆxk|k−1 ] + Ψk+1,kuk 将 Pk|k = [I − KkHk]Pk|k−1 代入一步预测方差有 Pk+1|k = Φk+1,kPk|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k = Φk+1,kPk|k−1Φ T k+1,k − Φk+1,kKkHkPk|k−1Φ T k+1,k + ΓkQkΓ T k Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 7 / 17

稳定性分析基于预测的滤波算法+k=+1,-1++1,[k-H-1]++1,kPk+1k=k+1,PAk-10T+1,k-+1,K,HPHk-1T+1,k+FAQTK=PA-H[H,PAK-+R]-1上述三个公式可以作为滤波算法单独使用，只要给出初始估计值，就可以递推求出任何时刻的状态最优估计。Dao#LinearOptimalFilteriniCaiXTuSpring20208/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 稳定性分析 基于预测的滤波算法 ˆxk+1|k = Φk+1,kˆxk|k−1 + Φk+1,kKk[yk − Hkˆxk|k−1 ] + Ψk+1,kuk Pk+1|k = Φk+1,kPk|k−1Φ T k+1,k − Φk+1,kKkHkPk|k−1Φ T k+1,k + ΓkQkΓ T k Kk = Pk|k−1H T k [HkPk|k−1H T k + Rk] −1 上述三个公式可以作为滤波算法单独使用，只要给出初始估计值，就可 以递推求出任何时刻的状态最优估计。 Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 8 / 17

稳定性分析基于预测的滤波算法采用简化记号：+1+1，Pk+1P+1，+1,kk，亚+1,亚k上述可以单独使用的滤波算法即为(2)+=k+Kk-H+kP+1=PT-KHPT+IQT(3)K=P,H[HPH+R]-1(4)Dao口+钟arOptimal Filterin5pring2020iCaiXTu9/17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 稳定性分析 基于预测的滤波算法 采用简化记号: ˆxk+1|k , ˆxk+1, Pk+1|k , Pk+1, Φk+1,k , Φk, Ψk+1,k , Ψk, 上述可以单独使用的滤波算法即为 ˆxk+1 = Φkˆxk + ΦkKk[yk − Hkˆxk] + Ψkuk (2) Pk+1 = ΦkPkΦ T k − ΦkKkHkPkΦ T k + ΓkQkΓ T k (3) Kk = PkH T k [HkPkH T k + Rk] −1 (4) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 9 / 17

稳定性分析误差动力学采用简化记号后+1=+1++1,+FW=++Fk可得+1=+1-+1=Φk-ΦK[yk-H]+wk=[-KH-K+T上式后两项是（随机）输入作用，滤波算法的稳定性只需研究(5)+1=[I-K]koao4钟LinearOptimalFilterin10/17iCai(XJTUins2020

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 稳定性分析 误差动力学 采用简化记号后 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk + Γkwk = Φkxk + Ψkuk + Γkwk 可得 ˜xk+1 = xk+1 − ˆxk+1 = Φk˜xk − ΦkKk[yk − Hkˆxk] + Γkwk = Φk[I − KkHk]˜xk − ΦkKkvk + Γkwk 上式后两项是（随机）输入作用，滤波算法的稳定性只需研究 ˜xk+1 = Φk[I − KkHk]˜xk (5) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 10 / 17