《随机系统的滤波与控制》研究生课程教学课件（讲稿）次优滤波算法与多模型滤波算法 Sub Optimal Filtering

次优线性滤波算法Prof. Yuan-Li CaiSpring2023

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0.Outline1引言/224衰减记忆滤波315限定记忆滤波/ 27协方差平方根滤波自适应滤波/ 416/ 51常值增益次优滤波

0. Outline 1 引言 / 2 2 衰减记忆滤波 / 4 3 限定记忆滤波 / 15 4 协方差平方根滤波 / 27 5 自适应滤波 / 41 6 常值增益次优滤波 / 51

次优线性滤波算法1引言1.引言在实际应用中，前面介绍的最优滤波算法可能出现两方面的问题.其一是滤波发散，其二是计算量过大所谓滤波发散，是指按给定模型设计的滤波器随量测的数目不断增加时，滤波的均方误差趋于零或某一稳态值，而实际的滤波误差却趋于无穷大或远远超过容许的范围造成滤波发散现象的主要原因有两方面1.系统的数学模型与噪声的统计特性不准确，2/57Prof. Yuan-Li CaiXi'anJiaotongUniversity

1 引言 次优线性滤波算法 1. 引言 在实际应用中，前面介绍的最优滤波算法可能出现两方面的问题. 其一 是滤波发散，其二是计算量过大. 所谓滤波发散，是指按给定模型设计的滤波器随量测的数目不断增加 时，滤波的均方误差趋于零或某一稳态值，而实际的滤波误差却趋于无穷 大或远远超过容许的范围. 造成滤波发散现象的主要原因有两方面： 1. 系统的数学模型与噪声的统计特性不准确； Prof. Yuan-Li Cai 2/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法1引信2.计算过程中舍入误差不断积累，使滤波误差协方差矩阵丧失对称性或非负定性，从而滤波增益的计算值逐渐失真滤波计算量太大主要影响高价系统的实时控制.如果滤波计算的时间太长，可能超过容许的采样时间，因而无法实现实时控制为此，我们需要改良卡尔曼滤波算法．当然希望解决上述问题的同时而又使滤波性能损失不致太大：这样得到的滤波器称为次优滤波器3/57Prof.Yuan-LiCaiXi'anJiaotongUniversity

1 引言 次优线性滤波算法 2. 计算过程中舍入误差不断积累，使滤波误差协方差矩阵丧失对称性或 非负定性，从而滤波增益的计算值逐渐失真. 滤波计算量太大主要影响高价系统的实时控制. 如果滤波计算的时间 太长，可能超过容许的采样时间，因而无法实现实时控制. 为此，我们需要改良卡尔曼滤波算法. 当然希望解决上述问题的同时， 而又使滤波性能损失不致太大. 这样得到的滤波器称为次优滤波器. Prof. Yuan-Li Cai 3/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波2.衰减记忆滤波在计算滤波估值时，逐渐减少历史量测数据的影响、相对增加新量测数据的影响，通过抑制舍入误差的积累和传播，可以达到克服滤波发散的自的，这就是衰减滤波的基本思想常见的衰减滤波算法有指数衰减记忆滤波和几何级数衰减滤波两种4/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 2. 衰减记忆滤波 在计算滤波估值时，逐渐减少历史量测数据的影响、相对增加新量测 数据的影响，通过抑制舍入误差的积累和传播，可以达到克服滤波发散的 目的. 这就是衰减滤波的基本思想. 常见的衰减滤波算法有指数衰减记忆滤波和几何级数衰减滤波两种. Prof. Yuan-Li Cai 4/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波2.1指数衰减记忆滤波考虑如下离散时间随机系统(1)Ck+1=k+1,kk+FWk(2)Yk+1 = Hk+1Ck+1 + Uk+1其中,wk～(O,Qk）与Vk～(0R）相互独立,它们与初始状态o～（o,Po）不相关.另外，设Qk≥0,Rk>0最优滤波可以表达为(3)k+1/k+1= [I -Kk+1Hk+1]Φk+1,kkk +Kk+1Yk+15/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 2.1 指数衰减记忆滤波 考虑如下离散时间随机系统 xk+1 = Φk+1,kxk + Γkwk (1) yk+1 = Hk+1xk+1 + vk+1 (2) 其中，wk ∼ (0, Qk) 与 vk ∼ (0, Rk) 相互独立，它们与初始状态 x0 ∼ (¯x0, P0) 不相关. 另外，设 Qk ≥ 0, Rk > 0. 最优滤波可以表达为 xˆk+1|k+1 = [I − Kk+1Hk+1]Φk+1,kxˆk|k + Kk+1yk+1 (3) Prof. Yuan-Li Cai 5/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波可见任意时刻的滤波值k+1k+1是量测数据y1～yk+1及初始估计olo的线性组合.而且所有的量测噪声的协方差矩阵R1～Rk+1和初始估计误差协方差矩阵Polo都进入了k+1k+1的计算.设当前时刻为N，如果要降低yk及oo对NIN的影响，可以通过增大Rk及PoJo的值来实现另外，最优滤波也可以表达为(4)k+1/k+1=k+1k+Kk+19k+1但一步预测和量测信息都直接与系统状态模型（1）有关，为了抑制远离当前时刻N模型不确定性对NIN的影响，可以通过增大Qk的值来实现6/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 可见任意时刻的滤波值 xˆk+1|k+1 是量测数据 y1 ∼ yk+1 及初始估计 xˆ0|0 的 线性组合. 而且所有的量测噪声的协方差矩阵 R1 ∼ Rk+1 和初始估计误差 协方差矩阵 P0|0 都进入了 xˆk+1|k+1 的计算. 设当前时刻为 N，如果要降低 yk 及 xˆ0|0 对 xˆN|N 的影响，可以通过增大 Rk 及 P0|0 的值来实现. 另外，最优滤波也可以表达为 xˆk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1y˜k+1 (4) 但一步预测和量测信息都直接与系统状态模型 (1) 有关，为了抑制远 离当前时刻 N 模型不确定性对 xˆN|N 的影响，可以通过增大 Qk 的值来实 现. Prof. Yuan-Li Cai 6/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波我们知道，最优增益计算公式为(5)Kk+1=P+1/HT+[Hk+1Pk+11HT+1 +Rk+1]-1或(6)Kk+1 = P+1+1HT+R+1如果将时刻k+1的量测噪声协方差增加为NRk+1 exp[(7)cil,ci≥0i=k+17/57Prof.Yuan-LiCaiXian JiaotongUniversity

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 我们知道，最优增益计算公式为 Kk+1 = Pk+1|kH T k+1[Hk+1Pk+1|kH T k+1 + Rk+1] −1 (5) 或 Kk+1 = Pk+1|k+1H T k+1R −1 k+1 (6) 如果将时刻 k+1 的量测噪声协方差增加为 Rk+1 exp[ X N i=k+1 ci ], ci ≥ 0 (7) Prof. Yuan-Li Cai 7/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波上式表明根据距离当前时刻N的远近加不同的权重，即离当前时刻N越远加越大的权重。记NP+1]k+1 = P+1]k+1 exp[- c](8)i=k+1NPt+1]k = Pk+1/k exp[- c](9)i=k十1那么(5)、(6)变为Ki+1=P+1/HT+[Hk+1P+1]HT+1+ Rk+1]-1= P++1++H+R+1?8/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an JiaotongUniversity

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 上式表明根据距离当前时刻 N 的远近加不同的权重，即离当前时刻 N 越远加越大的权重. 记 P ∗ k+1|k+1 = Pk+1|k+1 exp[− X N i=k+1 ci ] (8) P ∗ k+1|k = Pk+1|k exp[− X N i=k+1 ci ] (9) 那么 (5)、(6) 变为 K∗ k+1 = P ∗ k+1|kH T k+1[Hk+1P ∗ k+1|kH T k+1 + Rk+1] −1 = P ∗ k+1|k+1H T k+1R −1 k+1 Prof. Yuan-Li Cai 8/57 Xi’an Jiaotong University

次优线性滤波算法2衰减记忆滤波考虑一步预测的误差协方差矩阵(10)P+1=h+1,PkT+1k+TrQT如果将过程噪声协方差增加为N(11)Qkexp[c], c, ≥0i=k那么可得(12)P+=[k+1,P+1,+Q]exp(ck)如果将PoJo增加为N(13)Pojo exp[>c],C,≥ 0i=09/57Prof. Yuan-Li CaiXi'an Jiaotong University

2 衰减记忆滤波 次优线性滤波算法 考虑一步预测的误差协方差矩阵 Pk+1|k = Φk+1,kPk|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k (10) 如果将过程噪声协方差增加为 Qk exp[ X N i=k ci ], ci ≥ 0 (11) 那么可得 P ∗ k+1|k = [Φk+1,kP ∗ k|kΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k ] exp(ck) (12) 如果将 P0|0 增加为 P0|0 exp[ X N i=0 ci ], ci ≥ 0 (13) Prof. Yuan-Li Cai 9/57 Xi’an Jiaotong University