《最优控制》研究生课程教学资源（教案讲义）可化为规范形式的LQ问题、最优调节器的频率公式与性质、最优控制的反问题

线性连续系统最优控制补充讲义(2004-03-09)3.6可化为规范形式的LQ问题3.6.1具有规定衰减速度（稳定度）的调节器系统稳定条件，极点在左半复平面。+ Im衰减速度：系统离虚轴最近的闭环极点与虚轴间的距离，。越大，系统的非零初态响应的衰减速度愈快。+Re若闭环系统的极点都在距离虚轴为的直线左边，则称闭环系统有至少不低于。的衰减速度。最优化问题I：er00(0+ 0r0)lamin J =-x()= Ax(0)+ Bu(t)x(0)= xos.t式中，R正定，O半正定，α为正常量，（A,B）为能控对，（A,D）为能观对，Q= DDTu(l)=eu(0)令,x(0)=ex(0)则有=e"x+aex= e" (Ax+ Bu)+ ae" x=(A+aαl)e"x+Be"u转化为最优化问题IⅡI：

线性连续系统最优控制补充讲义 （2004-03-09） 3.6 可化为规范形式的 LQ 问题 3.6.1 具有规定衰减速度（稳定度）的调节器 系统稳定条件，极点在左半复平面。 衰减速度：系统离虚轴最近的闭环极点与 虚轴间的距离，。 越大，系统的非零初态 响应的衰减速度愈快。 若闭环系统的极点都在距离虚轴为的直 线左边，则称闭环系统有至少不低于 的衰减 速度。 最优化问题 I：  ( ) ( ) ( ) ( )   = + 0 2 2 1 min J e x t Qx t u t Ru t dt t T T s.t x (t) = Ax(t)+ Bu(t) ( ) 0 0 x = x 式中，R 正定，Q 半正定，为正常量，（A,B）为能控对，（A,D）为能观对， T Q = DD 令， x(t) e x(t) t = u(t) e u(t) t = 则有 ( ) (A I)e x Be u e Ax Bu e x x e x e x t t t t t t          = + + = + +  =  + 转化为最优化问题 II： Re Im 

[(00x(0)+7(0Ra(0)min J=!x=(A+αl)x+ Bus.tx(0)= x(0)= xo可以证明：[A,B]完全能控→[A+αl,B]完全能控[A,D]完全能观→[A+αl,D]完全能观。则，最优化问题ⅡI有唯一解：u()=-Kax(0)其中Ka=R-B'PaPa(A+αl)+(A +αl)Pa-P.BR-'B'Pa+Q=0又由于u=e-"u=-Ke-"x()=-K,x(l)所以，两个最优控制问题的反馈增益阵是相同的，又由于最优控制问题II的闭环系统文=(A+αl-BK。)x渐近稳定，即lim x(t)= lim e"x(t) = 0所以，x()也是渐近稳定的，且其衰减速度不低于e-"。即闭环系统x=(A-BK。)x的极点均落在复平面-α直线的左边。注意，这时并不能保证衰减速度恰好是α，且大于α多少也不能保证。可以由小到大改变α，通过试验的方法找到合适的α值，保证有规定的衰减率3.6.2具有非零设定点的调节器线性定常系统

 ( ) ( ) ( ) ( )   = + 2 0 1 min J x t Qx t u t Ru t dt T T u s.t ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x x x x A I x Bu = =  = + + 可以证明： [A,B]完全能控 A+I,B 完全能控。 [A,D]完全能观 A+I,D 完全能观。 则，最优化问题 II 有唯一解： u(t) K x(t) = −  其中 K R B P −1 T = ( ) ( ) 0 1 + + + − + = − P A I A I P P BR B P Q T T       又由于 u e u K e x(t) K x(t) t t     = = − = − − − 所以，两个最优控制问题的反馈增益阵是相同的，又由于最优控制问题 II 的闭环系统 x (A I BK )x = + −   渐近稳定，即 lim ( ) = lim ( ) = 0 → → x t e x t t t t  所以， x(t) 也是渐近稳定的，且其衰减速度不低于 t e − 。即闭环系统 x (A BK )x = −   的极点均落在复平面-直线的左边。 注意，这时并不能保证衰减速度恰好是，且大于多少也不能保证。可以 由小到大改变，通过试验的方法找到合适的值，保证有规定的衰减率。 3.6.2 具有非零设定点的调节器 线性定常系统

x= Ax+ Bu=Cx过去讨论的都是稳态（平衡态）为零状态的问题。设给定点为ysp，稳态时各量应满足Jsp=CxdO = Axa + Bud其中，ud,xd为希望的稳态时控制和希望的状态。取指标函数min J=[6(0)-y,)o(()-y)+(u(0)-ua) R(u(0)-ua)t令[x(0)= x(0)- xa(0)= y(0)- yp[a(0)= u()- ud则[X = Ax + Bu=CX最优控制问题转化为[sr(0)o()+ar(0)Ra(0)tmin2[X=AX+Bix(0)=xo - xds.t=CX这是一个规范化输出调节器问题。解得：i()=-Kx()K= R-'B'PPA+ ATP-PBR-'BIP+C'QC = 0则

   = = + y Cx x Ax Bu 过去讨论的都是稳态（平衡态）为零状态的问题。 设给定点为 ysp，稳态时各量应满足 d d sp d Ax Bu y Cx = + = 0 其中，ud, xd 为希望的稳态时控制和希望的状态。 取指标函数 J (y(t) y ) Q(y(t) y ) (u(t) u ) R(u(t) u )dt d T s p d T s p u   = − − + − − 2 0 1 min 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = − = − = − d sp d u t u t u y t y t y x t x t x ~ ~ ~ 则    = = + y Cx x Ax Bu ~ ~ ~ ~ ~ 最优控制问题转化为 J y (t)Qy(t) u (t)Ru(t)dt T T u    + 0 ~ ~ ~ ~ ~ 2 1 min s.t    = = + y Cx x Ax Bu ~ ~ ~ ~ ~ ( ) d x = x − x 0 0 ~ 这是一个规范化输出调节器问题。 解得： u(t) Kx(t) ~ ~ = − K R B P −1 T = 0 1 + − + = − PA A P PBR B P C QC T T T 则

u(t)= -Kx(0)+ ua + Kx =-Kx(0)+ ul其中第一项由最优化问题解得：[min J =(Oy+u' Ruat2J0(不考虑非零设定值)x=Ax+Bus.t.ly= cx确定ua:X=(A-BK)x+ Bua代入状态方程lim x(0)= 0由于系统渐进稳定O = (A- BK)xa + Bua由于(A-BK)的特征值都在左半复平面，(A-BK)非奇异。则xa = -(A- BK)" Bulayp=-C(A-BK)'Bua（这是一个线性方程组，需讨论其有解、无解、有无穷解的条件。）当r=m，控制维数=输出维数时，有如下定理。定理：已知线性定常系统x=Ax+Buly=Cx其中y和u具有相同的维数，对于任何渐近稳定的定常控制律：u(0)=-Kx(0)+ ud令W。(s)是开环传递函数阵W(s)=C(sI-A)"BW,(s)是闭环传递函数阵W.(s)=C(sl-A+BK)"B当且仅当，W。(s)的“分子多项式”没有s=0的零点，则W.(s)是非奇异矩

( ) ( ) ( ) d d ud u t = −Kx t + u + Kx = −Kx t +  其中第一项由最优化问题解得： ( )           = = + = +   y cx x Ax Bu st J y Qy u Ru dt T T  . . 2 1 min 0 （不考虑非零设定值） 确定 d u  ： 代入状态方程 ( ) Bud x  = A− BK x +  由于系统渐进稳定 lim ( ) = 0 → x t t  ( ) d Bud 0 = A− BK x +  由于(A-BK)的特征值都在左半复平面，(A-BK)非奇异。 则 ( ) d A BK Bud x = − −  −1 ( ) sp C A BK Bud y = − −  −1 (这是一个线性方程组，需讨论其有解、无解、有无穷解的条件。) 当 r = m ，控制维数=输出维数时，有如下定理。 定理：已知线性定常系统 其中 y 和 u 具有相同的维数，对于任何渐近稳定的定常控制律： ( ) ( ) ud u t = −Kx t +  令 W (s) 0 是开环传递函数阵 W (s) C(sI A) B 1 0 − = − W (s) c 是闭环传递函数阵 Wc (s) C(sI A BK) B −1 = − + 当且仅当， W (s) 0 的“分子多项式”没有 s = 0 的零点，则 W (s) c 是非奇异矩    = = + y Cx x Ax Bu

阵，若选u=W(0)ys可保证稳态时y(o)=ysp，从而实现非零给定点调节。yspw(0)cx=Ax+BuH例：（解书p389）受控系统：x= Ax+Buy=Cx其中0001000100A=B:0010000-343 4.6332540]00C=[1取01000000Q=C'C:R=r=10500000000解最优控制LQR得K =[30.245.7360.31600.01473]得u=-Kx对零设定点对非零设定点：u=-Kx+W-(0). ysp而

阵，若选 ( ) d c sp u =W 0 y 可保证稳态时 ( ) sp y  = y ，从而实现非零给定点调节。 例：（解书 p389）受控系统： y Cx x Ax Bu =  = + 其中               − − = 0 0 343 4.63 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A               = 3254 0 0 0 B C = 1 0 0 0 取               = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 Q C C T 5 R = r = 10 解最优控制 LQR 得 K = 30.24 5.736 0.3160 0.01473 得 u = −Kx——对零设定点 对非零设定点： ( ) c sp u = −Kx +W  y − 0 1 而 (0) −1 Wc a  x  = Ax + Bu C + - K ysp u x y

W.(s)= C(sI - A+ BK)' B32544+52.56.s+1371.3s2+18665s+9840013254W,(0)=9840030.24W-(0)=30.243.6.3跟踪问题要求系统输出尽量接近所希望的轨线，并使规定的性能指标泛函为最小。线性系统x= Ax+ Bux(0)= xoy=Cx设预期的轨线：x()= A'x()y()=C'x@)求最优控制u，使[()-y(0)0(6(0)-y(0)+u (0)Ru(0)laimin J=令i-[8][x()]A=[4 0]x(0)=[x(0][0 A][c'Qc -C'QC'R=RQ：-C'TQC C"QC'则，最优控制问题转化为："[erOx+ u Rultmin J =X=Ax+Bus.1

( ) ( ) 52.56 1371.3 18665 98400 3254 4 3 2 1 + + + + = = − + − s s s s Wc s C sI A BK B ( ) 30.24 1 98400 3254 Wc 0 = = (0) 30.24 1 = − Wc 3.6.3 跟踪问题 要求系统输出尽量接近所希望的轨线，并使规定的性能指标泛函为最小。 线性系统 y Cx x Ax Bu =  = + ( ) 0 0 x = x 设预期的轨线： ( ) ( ) y (t) C x (t) x t A x t  =    =   求最优控制  u ，使 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( )   = −  −  +  2 0 1 min J y t y t Q y t y t u t Ru t dt T T u 令 ( ) ( ) ( )        = x t x t xˆ t        = A A A 0 0 ˆ       = 0 ˆ B B         −    −  = C QC C QC C QC C QC Q T T T T ˆ R ˆ = R 则，最优控制问题转化为：     = + 0 ˆ ˆ ˆ 2 1 min J x Qx u Ru dt T T u s.t x Ax Bu ˆ ˆ ˆ ˆ = + 

（有局限性，预期轨线渐进稳定。）可解得u =-R-"B'Px= -R"'B" P,x - R-'B" P,x'=-Kx-K,x由推导，易知KI为给出调节器问题min J= J('Oy+u' Ru)dts.t.x=Ax+Bu的反馈增益阵K。u*x= Ax+ BuX'=A'x'K2Ki*uX'= A'x'K2CVx= Ax+ BuKi当x'不可测时，由状态观测器得到

（有局限性，预期轨线渐进稳定。） 可解得 K x K x R B P x R B P x u R B Px T T T = − −  = − −  = − − −  − 1 2 21 1 11 1 1 ˆ ˆ ˆ 由推导，易知 K1 为给出调节器问题 ( )     = + = +   st x Ax Bu J y Qy u Ru dt T T . .  min 0 的反馈增益阵 K 。 当 x  不可测时，由状态观测器得到。 x  = Ax + Bu C K2 x y K1  x  = A x  u* - - x  = Ax + Bu C K1 x y x  = A x  K2  u  - -

3.6.4限制输入信号的变化速率.[(00x(0)+(0)Ru(0)+i(sil0)lmin J=2J0x(0)= xostx= Ax+ Bu在控制输入前引入一个积分环节，构成一个uSx= Ax+Buu增广系统x=Ax+Bux(0)= xou(0)给定i=u记x[AB[9]B, =Ax, =001[u]则，系统x, = A,x, + B,u[gR, =Sg,=R性能指标转化为：' (xfx, + u, R,u,)dt当[4,B,]完全能控，对任意满足D,DT=Q,的D,，[A,D]完全能观时，最优问题有定常解u =-R'B,Pxi[P P2]P=记[P] P,]

3.6.4 限制输入信号的变化速率  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = + + 2 0 1 min J x t Qx t u t Ru t u t Su t dt T T T u   s.t x  = Ax + Bu ( ) 0 0 x = x 在控制输入前引入一个积分环节，构成一个 增广系统 ( ) 0 1 x 0 x u u x Ax Bu =    = = +   u(0) 给定 记       = u x x1       = 0 0 1 A B A       = I B 0 1 则，系统 1 1 1 B1u1 x  = A x +       = R Q Q1 R1 = S 性能指标转化为： ( )   = + 0 1 1 1 1 1 2 1 J x Qx u R u dt T T 当   1 1 A ,B 完全能控，对任意满足 D1D1 Q1 T = 的 D1，  1 1 A ,D 完全能观时，最优问 题有定常解 1 1 1 1 1 u R B Px  − T = − 记       = 21 22 11 12 P P P P P x  = Ax + Bu ∫ u x u

O=P,A+A'P, - PIS-'PI +O0 = P21A+B'P - P2S-'P210 = P2,B+B'P21- P2S-P22 + R最优控制u*满足u=u =-R-'B,Px-CAR--s"P,x-s"P,zu-Kx-K,uu (0) = u(0)增广系统x = Ax + BuK2Ki控制器x= Ax+BuKK动态控制器

P A A P P S P Q T T = + − + − 21 1 0 11 11 21 21 1 0 P21A B P11 P22S P T − = + − P B B P P S P R T = + − + − 22 1 0 21 21 22 最优控制  u 满足  − −   −   − = − − = − −                     = − = = − K x K u s P x s P u u x P P P P I s u u R B Px T T 1 2 22 1 21 1 21 22 1 11 12 1 1 1 1 1 0  u (0) = u(0)  x  = Ax + Bu K2 x K1  ∫ u 增广系统 控制器 - - u x  = Ax + Bu K1 x K2 ∫ - -  动态控制器

可以证明(1）[A,B]完全能控=[A,B]完全能控(2）对任意满足D,DF=Q的矩阵，[A,D,]完全能观测→对满足D,DI=Q,的D，[A,D]完全能观测。3.6.5补偿扰动的影响补偿缓变扰动的影响，亦称为无差调节器。系统[x = Ax + Bux(0)= xoy=Cx其中为被控制变量，考虑u与y维数相同以之=定义一个新的状态[x=Ax+Bu[z = Cx定义二次型性能指标('Qy+2'Qz+u Ruldt其中=Q,=体现被控制量响应曲线下的面积尽可能小。转化为如下最优控制问题： (f Ox, + u'* Ru)dt三210s.tx=Ax+Bu[B[4 0]A=B.L[c o]10

可以证明 （1） A,B 完全能控    1 1 A ,B 完全能控 （2）对任意满足 D D Q T 11 11 = 的矩阵，   11 A,D 完全能观测  对满足 D1D1 Q1 T = 的 D1， 1 A,D 完全能观测。 3.6.5 补偿扰动的影响 补偿缓变扰动的影响，亦称为无差调节器。 系统    = = + y Cx x Ax Bu ( ) 0 0 x = x 其中 y 为被控制变量，考虑 u 与 y 维数相同 以 z  = y 定义一个新的状态    = = + z Cx x Ax Bu   定义二次型性能指标 ( )   = + + 0 1 2 2 1 J y Q y z Q z u Ru dt T T T 其中 z Q z T 2 体现被控制量响应曲线下的面积尽可能小。 转化为如下最优控制问题： ( )   = + 0 1 1 2 1 J x Qx u Ru dt T T s.t x  1 = A1 x1 + B1u       = z x x1       = 0 0 1 C A A       = 0 1 B B