《最优控制》研究生课程教学课件（PPT讲稿）变分法

西安交通大学XTANJIAOTONG UNIVERSITY最优控制2023变分法高峰、吴江高峰、吴江

高峰、吴江 1 最优控制2023 变分法 高峰、吴江

提纲一点历史泛函与函数泛函变分与Euler方程复杂情形最优条件变分的另一种定义小结高峰、吴江Y2

SEI 高峰、吴江 2 提纲 ⚫ 一点历史 ⚫ 泛函与函数 ⚫ 泛函变分与Euler方程 ⚫ 复杂情形最优条件 ⚫ 变分的另一种定义 ⚫ 小结

变分法发展历程Variation Calculusdifferentialcalculus微分学差分difference变分法的研究开始于17世纪未期到18世纪中叶，变分法成为一个独立的数学分支对变分法的贡献首推：欧拉与拉格朗日勒让得、泊松、维尔斯特拉斯、奥斯特洛格拉特斯基、哈密顿、雅克比等现代科学技术领域中必不可少的应用数学分支高峰、吴江YH

SEI 高峰、吴江 3 变分法发展历程 ⚫ Variation Calculus ⚫ differential calculus ⚫ difference ⚫ 变分法的研究开始于17世纪末期 ⚫ 到18世纪中叶，变分法成为一个独立的数学分支 ⚫ 对变分法的贡献首推：欧拉与拉格朗日 ⚫ 勒让得、泊松、维尔斯特拉斯、奥斯特洛格拉特斯基、 哈密顿、雅克比等 ⚫ 现代科学技术领域中必不可少的应用数学分支 微分学 差分

三个著名变分问题最速降线问题确定一条曲线，将任意给定的两点A和B连接起来，使质点在不考虑摩擦的情况下，从点A无初速滑动B至点B时所需要的时间最短。0X高峰、吴江Y2

SEI 高峰、吴江 4 三个著名变分问题 ⚫ 最速降线问题 o x y A B 确定一条曲线，将任意给 定的两点A和B连接起来， 使质点在不考虑摩擦的情 况下，从点A无初速滑动 至点B时所需要的时间最 短。 ?

三个著名变分问题短程线问题AOB求曲面 Φ(x,y,z)=0Z上所给两点间长度最短的曲线yO约束极值或条件极值问题高峰、吴江52

SEI 高峰、吴江 5 三个著名变分问题 ⚫ 短程线问题 x z o y A B 求曲面 (x,y,z)=0 上所给两点间长度 最短的曲线。 约束极值或条件极值问题

三个著名变分问等周问题求长度为一定的封闭线，使其所围的面积S最大。远在古希腊时，人们已经知道这个曲线是一个圆周，但这个事实直到变分法确定之后，才得到令人满意的证明。高峰、吴江Y

SEI 高峰、吴江 6 三个著名变分问题 ⚫ 等周问题 ⚫ 求长度为一定的封闭线，使其所围的面积S最大。 远在古希腊时，人们已经知道这个曲线是一个 圆周，但这个事实直到变分法确定之后，才得 到令人满意的证明

变分法是数学分析的一个分支是微分学中处理函数极值问题的扩展积分型泛函求极值的方法适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个数值变量，而是整个变动的曲线或函数，因而它所涉及的问题更加深入和广泛。高峰、吴江Y

SEI 高峰、吴江 7 变分法 ⚫ 是数学分析的一个分支 ⚫ 是微分学中处理函数极值问题的扩展 ⚫ 积分型泛函求极值的方法 ⚫ 适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个 数值变量，而是整个变动的曲线或函数，因而 它所涉及的问题更加深入和广泛

提纲一点历史泛函与函数泛函变分与Euler方程复杂情形最优条件变分的另一种定义小结高峰、吴江Y2

SEI 高峰、吴江 8 提纲 ⚫ 一点历史 ⚫ 泛函与函数 ⚫ 泛函变分与Euler方程 ⚫ 复杂情形最优条件 ⚫ 变分的另一种定义 ⚫ 小结

函数与泛函定义1微分与变分2.距离3.邻区4连续性5.线性6.极值7.高峰、吴江Y2

SEI 高峰、吴江 9 函数与泛函 1. 定义 2. 微分与变分 3. 距离 4. 邻区 5. 连续性 6. 线性 7. 极值

定义函数泛函如果对于变量x的某一变如果对于某一类函数）化域中的每一个x值，y有中的每一个函数y(x)，J均且仅有一个v值与之对应有且仅有一个值与之对应那么变量叫做变量x的函那么变量叫做依赖于函数。数y(x)的泛函。J= Jy(x)I或 J(y)y=f(x)数学语言描述：泛函是一个映射J:D(J)一→K，D(J)CY，Y为向量空间，D(J)为J的域，K为R或C。（曲线空间到实数集的任意映射）S2

SEI 高峰、吴江 10 定义 ⚫ 函数 ⚫ 如果对于变量x的某一变 化域中的每一个x值，y有 且仅有一个y值与之对应， 那么变量y叫做变量x的函 数。 y = f(x） ⚫ 泛函 ⚫ 如果对于某一类函数y() 中的每一个函数y(x)，J均 有且仅有一个值与之对应， 那么变量J叫做依赖于函 数y(x)的泛函。 J = J[y(x)] 或 J(y) 数学语言描述： 泛函是一个映射J:D(J) →K，D(J)Y，Y为向量空间， D(J)为J的域，K为R或C。 （曲线空间到实数集的任意映射）