《智能机器人技术》研究生课程教学课件（讲稿）第五章 机器人动力学模型

第五章机器人动力学前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，研究机器人运动与关节力（力矩）间的动态关系。>分析机器人动态数学模型，主要采用两种理论生顿一欧拉方程，拉格朗日方程>对于动力学，有两个相反的问题（1）已知各关节作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。（2）已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩

前面我们所研究的机器人运动学都是在稳态下进行的，没 有考虑机器人运动的动态过程。实际上，机器人的动态性能不 仅与运动学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布 、执行机构的位置、传动装置等因案有关。 机器人动态性能由动力学方程描述，研究机器人运动与关 节力(力矩)间的动态关系。 第五章 机器人动力学  分析机器人动态数学模型，主要采用两种理论 牛顿—欧拉方程，拉格朗日方程  对于动力学，有两个相反的问题 (1) 已知各关节作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度，求得 运动轨迹。 (2) 已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度和加速度，求各关 节所需要的驱动力或力矩

5.1刚体的动能与势能拉格朗日函数L被定义为系统动能K和势能P之差，即：(5-1)L=K-P系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：aLd aL(5-2)F.i=12,.n.dt oq;aqi式中，q为表示动能和势能的坐标，9为相应的速度，而F为作用在第个坐标上的力或是力矩。>一般物体的动能与势能1动能K=my2-ma22M势能kd2P2小车-弹簧系统的拉格朗日函数11L=K-P图1一般物体的动能与势能222

2 拉格朗日函数 L 被定义为系统动能K 和势能P 之差，即: 系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下： 式中， 为表示动能和势能的坐标， 为相应的速度，而 为 作用在第i个坐标上的力或是力矩。 L  K  P i n q L q L dt d i i i   ,  1,2,      F  (5 1)  (5 2)  qi qi  Fi 5.1 刚体的动能与势能 1 1 2 2 2 2 K mv md   1 2 2 P kd  图1 一般物体的动能与势能  一般物体的动能与势能 动能 势能 1 1 2 2 2 2 L K P md kd     小车-弹簧系统的拉格朗日函数

y拉格朗日函数导数xaLd[aL]T=md=-kddtladaddi0imiT2拉格朗日-欧拉方程(x, y)d2F= md +kdg02m2(x2, y2)二连杆机械手的动能和势能图2二连杆机器手（1）二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为K = K, +K,1(m, + m, )d0? +=m,d (@ +0,) + m2d,d, cos 0,(0? +0,0,)(5-3)2P = P + P2(5- 4)= -(m, +m, )gd, cos0, - m2gd, cos(0, +0,)3

3 拉格朗日函数导数 d L L md kd dt d d              拉格朗日-欧拉方程 F md kd    二连杆机械手的动能和势能 二连杆机械手系统的总动能和总势能分别为： (5 3)  K  K1  K2 ( ) cos ( ) 2 1 ( ) 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1               m  m d  m d   m d d  P  P1  P2 ( ) cos cos( )   1  2 1  1  2 2  1  2 m m gd m gd (5 4)  x y θ1 θ2 T2 T1 d1 d2 m2 m1 (x1, y1) g (x2, y2) 图2 二连杆机器手（1）

5.2拉格朗日方法（1）二连杆机械手系统的拉格朗日函数L=K-P1.-m +m)4+md(+ +200+0)+m2d,d2 cos0,(0? +0,02)+(m + m2)gd cos0) +m2gd, cos(0 +02) (5-4)求得力矩的动力学方程式：D2 [0?]+[Du2 Di21 [0,0, +[D,[- Ba] [a a] Baa](5- 5)其中，D.为关节有效惯量，D.为关节和关节之间的耦合惯量。D向心加速度系数，Dii、Di哥氏加速度系数，D代表关节i处的重力

4 5. 2 拉格朗日方法 (1) 二连杆机械手系统的拉格朗日函数 Dijj向心加速度系数，Diij 、Diji哥氏加速度系数, Di代表关节i处的重力。 L  K  P ( 2 ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1            m  m d  m d   cos ( ) ( ) cos cos( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2  m2 d1 d2  2 1    m  m gd   m gd      (5 4)                                                     2 1 2 1 1 2 212 221 112 121 2 2 2 1 211 222 111 122 2 1 21 22 11 12 2 1 D D D D D D D D D D D D D D T T                 (5 5)  求得力矩的动力学方程式： 其中，Dii为关节i有效惯量，Dij 为关节i和关节j之间的耦合惯量

比较可得本系统各系数如下：有效惯量Du =(m + m2)d? +m,d2 +2m,d,d, cos0,D22 = m,d?耦合惯量D2 = m,d2 + m2d,d, cos02 = m2(d2 +d,d, cos0,)向心加速度系数Di = 0D122 = -m2d,d2 sin0,D211 = m2d,dz sin02D222 = 0哥氏加速度系数Du12 = Di21 = -mzd,d, sin0,D212 = D221 = 0重力项D, =(m, +m2)gd, sin4, +m2gd, sin(, +0,)D2 = m2gd, sin(0, +0,)5

5 比较可得本系统各系数如下： 有效惯量 耦合惯量 向心加速度系数 2 1 2 2 2 2 2 2 11 1 2 1 D  (m  m )d  m d  2m d d cos 2 D22  m2 d2 cos ( cos ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 D12  m2 d2  m d d   m d  d d  0 sin sin 0 222 211 2 1 2 2 122 2 1 2 2 111      D D m d d D m d d D   哥氏加速度系数 重力项 0 sin 212 221 112 121 2 1 2 2      D D D D m d d  sin( ) ( ) sin sin( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2            D m gd D m m gd m gd

>表5.1给出这些系数值及其与位置0，的关系。注意：有效惯量的变化将对机械手的控制产生显著影响！表5.1112D2DiDi2cos 020220°8184181090°10610442220180°-1460441010270°可以看出，Du、D22有效惯量在不同位置下有明显变化。I、I与T1、T,成正比的系数。6

6 表5.1 给出这些系数值及其与位置  2 的关系。 可以看出，D11、D22有效惯量在不同位置下有明显变化。I1、If与T1、T2成正 比的系数。  2 2 cos D11 D12 D22 1 I 2 I 0 90 180 270 1 0 -1 0 18 10 2 10 8 4 0 4 4 4 4 4 18 10 2 10 2 6 2 6 注意：有效惯量的变化将对机械手的控制产生显著影响！ 表5.1

(2）机械手动力学方程的计算与简化分析由一组A变换描述的任何机械手，求出其动力学方程推导过程分五步进行：>计算任一连杆上任一03点的速度；310连杆2>计算各连杆的动能和P机械手的总动能；连杆302>计算各连杆的势能和连杆1连杆4o1p.机械手的总势能；04>建立机械手系统的拉O格朗日函数：>对拉格朗日函数求导，图3四连杆机械手以得到动力学方程式

(2) 机械手动力学方程的计算与简化  计算任一连杆上任一 点的速度； 计算各连杆的动能和 机械手的总动能； 计算各连杆的势能和 机械手的总势能； 建立机械手系统的拉 格朗日函数； 对拉格朗日函数求导， 以得到动力学方程式。 7 图3 四连杆机械手 连杆1 连杆2 连杆3 连杆4 O O1 O2 O3 O4 P 3 rp 0 rp 分析由一组A变换描述的任何机械手，求出其动力学方程。 推导过程分五步进行：

(3)质点速度的计算为了计算系统的动能，必须知道机器人各关节的速度。03>连杆3上点P的速度为rp连杆2dP连杆3(T,3)02dtdt连杆1连杆4rp04对于连杆i上任一点的速度为：Odr2iV(5.6)图4dtaq>P点的加速度为：dd20Radt-AdtdtUaT,aTdZqkqjqdtonoaaq二8

8 （3）质点速度的计算 连杆3上点 P 的速度为： 对于连杆i上任一点的速度为： p p T p T p dt d dt d v r r r 3 3 3 3 0 0 ( ) ( )     1 i i i j j j d T q dt q               r v r (5.6) 连杆1 连杆2 连杆3 连杆4 O O1 O2 O3 O4 P 3 rp 0 rp 为了计算系统的动能，必须知道机器人各关节的速度。 P点的加速度为： 3 0 0 3 3 3 3 3 3 1 ( ) ( ) p p p p j p j j d d d T T T q dt dt dt q                a v r r r      3 3 3 2 3 3 3 3 1 1 1 i p k j p i k j i j k T T d q q q    q dt q q                        r r 图4

(%(22a.g.r)++12>速度的平方(°v,)? =(°v,)-(v,) = Trace[(°v,)(°v,dl[器= Trace-agOT=Tracerq,qkog式中，Trace表示矩阵迹。对于n阶方程，其迹为它的主对角线上各元素之和。>任一机械手上一点的速度平方为：dlITrace2o0aqkaT,a22=Traceqk9k(5.7)aqkaqkj=lk=l9

9     3 3 3 2 3 3 3 3 1 1 1 j p k j p j k j j j k T T q q q    q q q                          r r 速度的平方 式中，Trace表示矩阵迹。对于n阶方程，其迹为它的主对角线上各元素之和。 ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ] 0 2 0 0 0 0 T p p p Trace p p v  v  v  v  v                           3 1 3 1 3 3 3 3 ( ) ( ) j k T k p k j p j q q T q q T Trace  r  r                3 1 3 3 3 1 3 3 ( )( ) j j k k T T p k p j q q q T q T Trace r r   任一机械手上一点的速度平方为：                                 i j i k T i k k i i j j i q q T q q T Trace dt dr 1 1 2 2 v  r  r 1 1 T i i i i i i T k k j k k k T T Trace q q   q q                     r r (5.7)

(4)动能和势能的计算>动能的计算令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为：dnK-aTaT22Tracedmqiqk2aqk=laqki=1aTaT22Traceq,qkoqk2aq/=l其动能为：任一机械手连杆让上位置失量‘r的质点，OTal=TracedK, =ZZdmq,9k2aqkaqdl22Tracerdm2agq连杆3的动能为：10

10 (4) 动能和势能的计算 动能的计算 令连杆3上任一质点P的质量为dm，则其动能为： dK v p dm 2 3 2 1  q q dm q T r r q T Trace j i k T k k T p p i                        3 1 3 1 3 3 3 3 ( ) 2 1                          3 1 3 1 3 3 3 3 ( ) 2 1 j i k T k k T T p p i q q q T r dm r q T Trace   任一机械手连杆i上位置矢量 的质点，其动能为： 连杆3的动能为： r i q q dm q T q T dK Trace i j j k i k k T j i T i j i i               2 1 1 1 r r                  i j j k i k k T i i T T i j i q q q T dm q T Trace 1 1 ( ) 2 1 r r  