《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 9 Classical Theory of the Harmonic Crystal

第三章晶格振动Lattice Vibration

第三章 晶格振动 L tti Vib ti Lattice Vibration

固体物理的研究范式之一：波在介质中的传播问题Dispersionrelation色散关系Dispersionrelationsdescribetheinterrelationsofwaveproperties likewavelength,frequency,velocitieset.al色散关系描述波在传播过程中波长、频率、速度等等的关系。（在我们的课程中主要指频率（对于物质波来说对应于能量）与波数的关系）Dispersionmaybecaused eitherbygeometricboundaryconditions(waveguides,shallowwater)orbyinteractionofthewaveswiththetransmittingmedium.Elementaryparticlesconsideredasmatterwaves,haveanontrivialdispersionrelationevenintheabsenceofgeometricconstraintsandothermedia色散有时是由几何边界条件引起的，有时由波传播的介质决定。基本粒子，也可以认为是物质波的色散关系即使在没有边界条件或者传播媒介时也不一定是线性的

固体物理的研究范式之一：波在介质中的传播问题 Dispersion relation 色散关系 Dispersion relations describe the interrelations of wave properties like wavelength, frequency, velocities et.al 色散关系描述波在传播过程中波长 、频率 、速度等等的关系 速度等等的关系。（ 在 我们的课程中主要指频率（对于物质波来说对应于能量）与波数的 关系） Dispersion may be caused either by geometric boundary conditions (waveguides, shallow water) or by interaction of the waves with th t itti di El t ti l ith the transmitting medium. Elemen tary parti cles, considered as matter waves, have a nontrivial dispersion relation even in the absence of geometric constraints and other media. 色散有时是由几何边界条件引起的，有时由波传播的介 质决定。基本粒子，也可以认为是物质波的色散关系即 使在没有边界条件或者传播媒介时也不 定是线性的 使在没有边界条件或者传播媒介时也不 一定是线性的

真空中的电磁波？w= ck.真空中的电子？hk2w2m水波w= Vgk,弦波Fundamentaf2=2fT25w==nf,2u

真空中的电磁波？ 真空中的电子？ 水波 弦波

固体？我们这一章将研究原子振动波在固体中的传播问题

固体? 我们这一章将研究原子振动波在固体中的传播问题

晶格的振动对应固体的什么宏观性质？固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象

晶格的振动对应固体的什么宏观性质？ 固体热容，热膨胀，热传导，融化， 声的传播 ，电导率 ，压电现象 ， 某些光学和介电性质， 位移性相变 ， 超导现象

第三章晶格振动3.1晶格振动的经典理论3.2晶格振动的量子化一声子3.3 固体热容的量子理论3.4非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导3.5晶格振动的实验研究

第三章 晶格振动 3.1 晶格振动的经典理论 3 2. 晶格振动的量子化 晶格振动的量子化－声子 3.3 固体热容的量子理论 3.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导 3.5 晶格振动的实验研究

固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内，我们讨论了×光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等

固体的许多性质都可以基于静态模型来理解 （ 即 晶体点阵模型），即认为构成固体的原子在空间做严 格的周期性排列 ，在该框架内 ，我们讨论了 X 光衍射 发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将在此框 架内 ，建立能带论 ，计算金属大量的平衡性质 计算金属大量的平衡性质 。然而 它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或 离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的 ，而是在 固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振 动 。只有深入地了解了晶格振动的规律 ，更多的晶体 性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化 ，声的传播 ，电导率 ，压电现象 ，某些光学和介 电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相 互作用等等

晶格振动的研究始于固体热容研究，19世纪初人们就通过QEDulong-Petit定律=3N,kB,(E=3N,kT)CVaT认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世纪初才由Einstein利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子振动的研究，1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者）和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发表的更为简单的Debye热容理论（弹性波近似）已经可以很好的说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye模型不足，所以1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先生在晶格振动研究上成就突出，特别是1954年和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作

晶格振动的研究始于固体热容研究，19 世纪初人们就通过 Dulong-Petit 定律 3 ,( 3 ) V AB AB V E c Nk E NkT T           认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 V 20世纪初才由Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什 么会随温度降低而下降的现象（1907年），从而推动了固体原子 振动的研究，1912年玻恩 (Born，1954 年 Nobel物理学奖获得者 物理学奖获得者 ) 和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使 用了周期性边界条件，但他们的研究当时被忽视了，因为同年发 表的更为简单的Debye热容理论 （弹性波近似 ）已经可以很好的 已经可以很好的 说明当时的实验结果了，但后来更为精确的测量却表明了Debye 模型不足，所以1935 年Blakman Blakman才重新利用Born 和Von -Karman 近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论。后来黄昆先 生在晶格振动研究 在晶格振动研究 成就突出 上 ，特别是1954年和Born共同写作 的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作

我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献黄昆院士简介：（摘录）1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士学位：发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博十后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》一书（英国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版）黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是“极化激元”概念的最早阐述者

我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学 习，获哲学博士学位 获哲学博士学位；发表 《稀固溶体的 X光漫散射 》论文， 理论上预言“黄散射”。 1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究 员，这期间建立了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念， 并与李爱扶（A.Rhys）建立了多声子跃迁理论。 1947 -1952 年，与玻恩教授合著 与玻恩教授合著 《晶格动力学 》 一 书 （ 英 国牛津出版社，1954年）。（2006年中文版） 黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、 X光漫散射理论、晶格振动 长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在 起 维体系光学声子模联系在 一 起 。他是 “ 极 化激元”概念的最早阐述者

一.一维单原子链的振动MMMM000000000000000000000000000运动方程：Un-2Un-1 F Un F.Un+1考虑N个质量为m的同种原子组成的一维单原子链的。设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t时刻第n个原子偏离其平衡位置的位移为un(n+1)a(n+2)a(n-2)a(n-1)and890588910915895098C77uuu.uun+2n+1n

一 . 一维单原子链的振动 MMMM 运动方程： 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链的。设 un-2 un-1 F un un+1 L FR 考虑N个质量为 m 的同种原子组成的 维单原子链的。设 平衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原 子偏离其平衡位置的位移为 un u 1 u 2 u 1 u u n u n 1 u  n 2 u n 1  u  n 2 u 