《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（1-4）

热学热力学与统计物理（上册）习题参考答案第一章温度物态方程1，华氏温标取水的冰点为32°F，水的沸点为212°F。摄氏温标取水的冰点为0℃C，水的沸点为100°C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系：并计算在什么温度下华民温标和开氏温标有相同的温度读数。(/F-32);T'=574.59/K=574.59/°F)（答案：t/℃=9解: V=0(m-32)+o-4(e-0)+Vo, 得 t =--32)tF-18010095(T-32)，得：t=T-273.15，tF=T代入上式：T-273.15=9T'=574.59/K=574.59/°F2，定义温标t*与测温物质的性质x之间的关系为：t* = In(kx)式中k为常数，求：（a）设x为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为t=273.16°℃C，试确定温标t与热力学温标之间的关系。（b）在温标*中，冰点和汽点各为多少度？（c）在温标t中是否存在零度？（答案：（a）t*=273.16-ln273.16+lnT：（b）t*（冰点）~273.16K：t*（沸点）～273.47K(c) t=0 时,T~0K)解：（a)，热力学温标：T=273.16，T温标：t=ln(kps)，P3故t*-273.16=lnkp-lnkp3 =ln卫P3Tt=273.16+In卫=273.16+ln273.16P3

热学 热力学与统计物理（上册） 习题参考答案 第一章 温度 物态方程 1，华氏温标取水的冰点为 32 0F，水的沸点为 212 0F。摄氏温标取水的冰点为 0 0C，水的 沸点为 100 0C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系；并计算在什么温度下华氏温 标和开氏温标有相同的温度读数。 （答案： ( / 32) 9 5 / 0 0 t C = t F − ； T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ ） 解： ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 0 100 32 180 t V V V t V V V V F c − + − − + = − = ，得： ( 32) 9 5 t c = tF − 。 t c = T − 273.15，tF = T 代入上式： ( 32) 9 5 T − 273.15 = T − ，得： T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ 2，定义温标  t 与测温物质的性质 x 之间的关系为： t = ln(kx)  式中 k 为常数，求： （a）设 x 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为  t =273.16 0C，试确定温标  t 与热力学温标之间的关系。 （b）在温标  t 中，冰点和汽点各为多少度？ （c）在温标  t 中是否存在零度？ （答案：（a）  t =273.16-ln273.16+lnT；（b）  t （冰点）≈273.16 K；  t （沸点）≈273.47 K （c）  t =0 时，T≈0 K） 解：（a），热力学温标： 3 273.16 p p T = ，  t 温标： ( ) 3 t = ln kp  ， 故 3 3 273.16 ln ln ln p p t − = kp − kp =  ， 273.16 273.16 ln 273.16 ln 3 T p p t = + = + 

t*=273.16-ln273.16+lnT(b),t冰=273.16-ln273.16+ln273.15~273.16(K)t沸=273.16ln273.16+ln373.15~273.47(K)(c),t =0时，T=eln273.16-273.16=e-267.55 ~ 0K3，在容积为V容器中，盛有待测的气体，其压强为Pi，测得重量为G,。然后放掉一部分气体，使气体的压强降至P2，再测得重量为Gz。若放气前后的温度T不变，求该气体的摩尔质量μ；如果气体的压强为p时，气体的密度p为多少？G,-G, RT_AG RT△GP)（答案：μ=g为重力加速度；p:Pi-pz VgAp VgVg pPI=PRTGi =pVg+Mg = DVg+ Mg ,解：RTuGz = Pae + Mg.RTVgGi -G2 = (pi - P2)RTG,-G, RT_AG RTμ=Pi - P2 Vg -Ap VgAG Ppu_当压强为p时，p=4RTVg Ap4，容积为2500cm的烧瓶内有1.0×1015个氧分子、4.0×1015个氮分子和3.3×10-g的氩气。设混合气体的温度为150°C，求混合气体的压强。（答案：p=0.0233Pa）解：

t = 273.16− ln273.16+ lnT  （b）， t = 273.16 − ln 273.16 + ln 273.15  273.16(K)  冰 t = 273.16 − ln 273.16 + ln373.15  273.47(K)  沸 （c）， = 0  t 时， T e e 0K ln 273.16 273.16 267.55 = =  − − 3，在容积为 V 容器中，盛有待测的气体，其压强为 1 p ，测得重量为 G1 。然后放掉一部分 气体， 使气体的压强降至 2 p ，再测得重量为 G2 。若放气前后的温度 T 不变，求该气体的摩尔质 量  ；如果气体的压强为 p 时，气体的密度  为多少？ （答案： Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  ， g 为重力加速度； p p Vg G    = ） 解：   RT p 1 1 = ， Mg RT p Vg G = Vg + Mg = +   1 1 1 ， Mg RT p Vg G = + 2 2 ， ( )  RT Vg G1 − G2 = p1 − p2 ， Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  当压强为 p 时， p p Vg G RT p   = =   。 4，容积为 3 2500cm 的烧瓶内有 15 1.010 个氧分子、 15 4.010 个氮分子和 g 7 3.3 10−  的 氩气。 设混合气体的温度为 C 0 150 ，求混合气体的压强。 （答案： p = 0.0233Pa ） 解：

5.0×1015N, +N2M,RT3.3x10-78.31x423p=Pi+P2 +P3(6.02x1023NoV40J2.5×10-33p=0.0233Pa5，一机械泵的转速为の转/分，每分钟能抽出气体c升。设一容器的体积为V升，问要抽多长时间才能使容器内的压强由p。降至10～p。？VnPo，注意：≤<<V)（答案：t=0cP解：设在时间dt内，机械泵转过のdt转，抽出的气体为cdt，因此在此时间内气体的状态从(p(),V)变到(p@)+dp,V+cdt)，由理想气体状态方程得：p(c)V = (p(l)+dp)(V +cdt),Pl)=Per,dp-二dt ，t= in PoVdt0cc<<1，其中二为每转排出的气体体积。这里假设了：VoQc另一解法：抽机每转排出的气体体积为△V=抽机转n转后气体的压强为：04VAVn=In PoInl1+p'Po,V +AVVPn1At :抽机每转一转的时间为：拉n转所费的时间t为：0In Po2pt = nAt :cC0lnl1+olg1+OVoVInPoVcpInPo当<<1.与上相同。tcVocp1+olnlOV

3 7 23 15 3 3 0 1 2 1 2 3 2.5 10 8.31 423 40 3.3 10 6.02 10 5.0 10 − −            +   =         + + = + + = V M RT N N N p p p p  p = 0.0233Pa 5，一机械泵的转速为  转/分，每分钟能抽出气体 c 升。设一容器的体积为 V 升，问要 抽多长 时间才能使容器内的压强由 0 p 降至 0 2 10 p − ？ （答案： p p c V t 0 = ln ，注意：  c << V ） 解：设在时间 dt 内，机械泵转过 dt 转，抽出的气体为 cdt ，因此在此时间内气体的状态 从 (p(t),V) 变到 (p(t)+ dp,V +cdt) ，由理想气体状态方程得： p(t)V = (p(t)+ dp)(V +cdt)， dt V c dt dp = − ， ( ) t V c p t p e − = 0 ， p p c V t 0 = ln 。 这里假设了：  1 V c ，其中  c 为每转排出的气体体积。 另一解法：抽机每转排出的气体体积为  c V = ， 抽机转 n 转后气体的压强为： p0 V V V p n n       +  =  ，       = + V V p p n n  ln ln 1 0 ， 抽机每转一转的时间为：  1 t = ，n 转所费的时间 t 为：       + =       + = = V c V c p p t n t     lg 1 2 ln 1 ln 0  。 当  1 V c ， p p c V V c p p t 0 0 ln ln 1 ln        + =   ，与上相同

17 op6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数β=一p(aTv-aJ, Imole;β2=β,1+（答案：β(vmole)，1pV?V2TTT(alnp)1VRT解：对理想气体：psβ理=βILOTv?aRTVRTa对范德瓦尔斯气体：P(1mole)(vmole)pV2V2V-bV-vb（（)(1mole);T(V mole)-37，某液体从0°C加热到100°C，其压强增加2atm，体积不变。若该液体的等温压缩系数是4.5×10-atm-l，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。=9.0×10-7k)（答案：α=AT解：dV=VαdT-Vkrdp，体积不变，dV=O,得：α=Krdp由于α，K均为常数，则有：dT2=4.5×10-×2Ap= 9.0×10-7 k-1α=KT△T1008，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：B.pV = RT其中B，仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明V→o的极限情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数

6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数 T V p p         = 1  。 （答案： T 1  1 = ；         = + 2 2 1 1 pV a T  ，1mole；         = + 2 2 2 1 1 pV a T   ，（  mole） 解：对理想气体： V RT p  = ， T T p V ln 1 1  =         理 =  = ； 对范德瓦尔斯气体： 2 V a V b RT p − − = （1mole） 2 2 V a V b RT p    − − = （  mole）          = +       = +      − − = 2 2 2 1 1 1 0 1 pV a V T a p V b pT R p  ， （1mole）；         = + 2 2 2 1 1 pV a T   ， （  mole） 7，某液体从 C 0 0 加热到 C 0 100 ，其压强增加 2atm ，体积不变。若该液体的等温压缩系数 是 5 1 4.5 10− −  atm ，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。 （答案： 7 1 9.0 10− − = =  K T p T     ） 解： dV =VdT −V T dp ， 体积不变， dV = 0 ， 得： dT  T dp  = ， 由于  ， T 均为常数，则有： 5 7 1 9.0 10 100 2 4.5 10− − − = =   =  K T p T     8，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：       = + V B pV RT 1 1 ， 其中 B1 仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明 V →  的 极限情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数

1+B1+B+I dB,1V1VVdT（答案：α=V>0::K?0K=α=T+27BB, Tpp+2pvVRT解：对理想气体：pV= RT(1 mole),VpLav),一-六、 -(%),一(-等),一v(aT)对上述一摩尔实际气体：pV?=RT(V+B)，p不变，两边对T求偏微商：av[(%) ]) = R(V + B)+ RT (2pVatR(V+ B,)+ RT dB,avdTaT2pV-RTV+ B, +T dB,R(V+ B,)+ RT dB,R(V + B,)+ RT dB,1(avdTdTdT=(aT2pV?-RTV2RT(V + B,)-RTVTV +2TB,B,T dB,1+1Vv dTVα=?02T+27BTVT不变，对物态方程的两边对p求偏微商：avCav2 +2pvl= RTazaTV2V2avRT-2pV=[pV2 /(V+B,)-2pVV2(V +B,)V+B,VpV2-2pV2-2pVB,-pV-2pBV + B,1 (avV(appV+2pBB,1 +L1KB,pp+2pV

（答案： V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = ，V → ， T 1  = ； p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ， ） 解： 对理想气体： pV = RT （1 mole）， p RT V = ， pV T R T V V p 1 1  = =         = ； p p RT p V V V T T 1 1 1 2 =         = − −            = − ； 对上述一摩尔实际气体： ( )1 2 pV = RT V + B ， p 不变，两边对 T 求偏微商： ( )          +         = + +        dT dB T V R V B RT T V pV p p 1 2 1 ， ( ) pV RT dT dB R V B RT T V p − + +  =        2 1 1 ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 TV TB dT dB V B T RT V B RTV dT dB R V B RT pV RTV dT dB R V B RT T V V p + + + = + − + + = − + +  =         = ， V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = 。 V → ， T 1  = ； T 不变，对物态方程的两边对 p 求偏微商： p T p V RT T V V pV          =        + 2 2 ， pV (V B ) pV V RT pV V T V p 2 [ 1 ] 2 2 2 2 + − = −  =        ， ( ) 1 1 1 2 2 1 2 2 2 pV 2 pB V B V pV pV pVB V V B − − + =  − − + = 1 1 2 1 pV pB V B p V V T + + =            = − p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ，

9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为：nR1 :aα=K =pVVp其中n,R和a都是常数。试求此气体的物态方程。1Sap3（答案：pV=nRT-1 (avavnRnR=QV=解：Vα=V(aTaTpVpolD --V--(++)+aIar令物态方程为：V=V(T,p)，它的全微分为：(av)avVnRdV=dTdT-+adpdp=(aToppCpF两边乘以p，pdV= nRdT -Vdp-apdp,pdV+Vdp=nRdT-apdp,d(pV)=dnRT-apApV=nRT-ap2210，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为：R1β=α=TpV求该物质的物态方程。（答案：p(V-b)=RT)编: α=(%),β=;(%),，aTo1dp= (αv)-"dV +(βp)dp= PdV +dTdydpavopRP/pRRTRTRTdv=-dT.dp+CRPppO

9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为： pV nR  = ， V a p = + 1  其中 n, R 和 a 都是常数。试求此气体的物态方程。 （答案： 2 2 1 pV = nRT − ap ） 解： T p V V         = 1  ， p nR V pV nR V T V p  = =  =         ， T p V V           = − 1  ，         = − +         = − = − +           a p V V a p V V p V T 1  ， 令物态方程为： V =V(T, p)， 它的全微分为： a dp p V dT p nR dp p V dT T V dV p T         = − +            +        = ， 两边乘以 p ， pdV = nRdT −Vdp − apdp ， pdV +Vdp = nRdT − apdp ，       = − 2 2 1 d( pV ) d nRT ap ， 2 2 1 pV = nRT − ap 。 10，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为： pV R  = ， T 1  = ， 求该物质的物态方程。 （答案： p(V −b) = RT ） 解： T p V V         = 1  ， T V p p         = 1  ( ) ( ) dp p T dV R p dp V dV p dp p T dV V T dT p V = + = +            +        = −1 −1   ，         = − = p RT dp d p RT dT p R dV 2 ， C p RT V = +

limV=C，即不可压缩之体积（1mole）所以C=b，得：p(V-b)=RT。11，简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数x的数值都很小，在一定的温度范围内可以把α和K看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为：V(T, p)= V(T,O)[1 +α(T - T.)-xp]dvav解：ddTdp=αVdT-xVdp,αdT-xdpVaTar从状态(T,Vo,po）至状态(T,V,p)积分：V=α(T-T.)-x(p- po), V=V(To,po)ea(T-T-)r(p-P),inV.因α和很小，在一定温度范围内，α(T-T)-(p-p）也很小，可用指数展开，er=1+x,V(T,p)=V(T,Po)(1+α(T-T。)-x(p-Po)，令固体、液体初始压力 pP。=0,则: V(T, p)=V,(T,0)[1+α(T-T.)-Kp] 。12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：=α(p+a)(V+b)+C,其中θ为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度，α、b、c、α均是常数。0=0,00=0)（提示：先证明av?op2a'0V定压温标为：V=V。(1+βe)，6A==0-1解：av?βla0I(P-10=定容温标为：p=po(1+α),=0ap?α(poa'0=C(p)+C2, 0由=0,得：=C;(p)(V +b)+C2,av2av

V C p = → lim ，即不可压缩之体积（1mole）， 所以 C = b， 得： p(V −b) = RT 。 11，简单固体和液体的体胀系数  和压缩系数  的数值都很小，在一定的温度范围内可以把  和  看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 解： dp VdT Vdp p V dT T V dV p T =  −            +        = ， dT dp V dV =  − ， 从状态 ( ) 0 0 0 T ,V , p 至状态 (T,V, p) 积分： ( ) ( ) 0 0 0 ln T T p p V V = − − − ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , T T p p V V T p e − − − =   ， 因  和  很小，在一定温度范围内， ( ) ( )  T −T0 − p − p0 也很小， 可用指数展开， e x x = 1+ ， ( ) ( )( ( ) ( )) 0 0 0 1 0 0 V T, p =V T , p + T −T − p − p ，令固体、液体初始压力 p0 = 0 ， 则： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 。 12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：  =(p + a)(V + b)+C， 其中  为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度， a 、b 、c 、 均是常 数。 （提示：先证明 0 2 2 =   p  ， 0 2 2 =   V  ） 解： 定压温标为： V = V (1+ ) 0 ，         = −1 1 V0 V   ， 0 2 2 =   V  ， 定容温标为： p = p (1+) 0 ，         = −1 1 p0 p   ， 0 2 2 =   p  ， 由 0 2 2 =   V  ， 得： ( ) C1 p C2 V = +   ， ( )( )  = C1 p V +b +C2

a0 =(V +b)(2),得：电=0Op?apap"0=(V+b)c(p) =0, 0"℃(p)=0, oC(p)=C,opOp2Op2dpC(p)=C,(p+a)+C4, =α(p+a)(V+b)+C。13，实验发现橡皮带有：(%) - 7|() ](%) -4[-()aL式中t为张力，L.为无张力时的带长，A为常数。（a）计算，并讨论其意义；（b）OT求物态方程。L; 物态方程: 1=4[-(岁)])（答案：元/=-71+2()解：(a）计算aT() (%)(%) -- (%) (高),用等式：4i-(2)atAL 1-()aT11atatarrl+()1+2()aLalat它是张力t不变时，带长L随温度的变化率。t= t(T,L)（b）求物态方程，()+(),-()++()dt=C

由 0 2 2 =   p  ， 得： ( ) ( ) p C p V b p   = +   1 ， ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 =   = +   p C p V b p  ， ( ) 0 2 1 2 =   p C p ， ( ) 3 1 C p C p =   ( ) ( ) C1 p = C3 p + a +C4，  =(p + a)(V + b)+C。 13，实验发现橡皮带有：                = +        3 0 1 2 L L AT L t T ；                = −        3 0 1 L L AL T t L 式中 t 为张力， L0 为无张力时的带长， A 为常数。（a）计算 T t L         ，并讨论其意义；（b） 求物态方程。 （答案：               +               −  = −        3 0 3 0 1 2 1 L L T L L L T L t ；物态方程：               =  − 2 0 0 L L L L t A T ） 解： （a）计算 T t L         ， 用等式：  = −1                        T t L t T T L L t ， L L t T T t          =        1 ，               +               − = −               +               − = −                 = −                  = −        3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 1 1 2 1 1 L L T L L L L L AT L L AL L t T t t T L T t L T L T L t ， 它是张力 t 不变时，带长 L 随温度的变化率。 （b）求物态方程 ， t = t(T,L) dL L L dT AT L L dL AL L t dT T t dt L T               + +                = −         +        = 3 0 3 0 1 1 2

+C(TT=AT1L对L积分：(%) -4-()]- 2.上式对T偏微商，dC(T) = 0, C(T)= const. = B ,ot(%), = 4[-(2)比较得：9与已知条件：dT-4[-等]+。 由L-,时 1-0. B=-0.所以：1- [-()])14，已知：RRT2aopopV-b"(v-b)av)TaT式中a和b是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。2aRTdp)-解：由T不变时，对V积分：V3(v-b)avRTa+C(T),由此式对T求偏微商：D=2V-bRR+ dc(T)pop因：dTV-baTV-baT所以 dc(T)0.C(T)= const. = C,dTRTa由+C，当V→，p→0，故C=0（为理想气体），p=V2V-b得：-b)=RT，即范氏方程。p+

对 L 积分： C(T ) L L t AT L  +      = − 2 3 0 上式对 T 偏微商， ( ) dT dC T L L AL T t L +                = −        3 0 1 ， 与已知条件：                = −        3 0 1 L L AL T t L 比较得： ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. = B ， 所以： B L L t AT L  +      = − 2 3 0 ， 由 L = L0 时， t = 0 , 得： B = 0 ，               =  − 2 0 0 L L L L t A T 。 14，已知： V b R −  =        T V p ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p 式中 a 和 b 是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。 解： 由 ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p ， T 不变时，对 V 积分： C(T ) V b RT V a p + − = − +2 ， 由此式对 T 求偏微商： ( ) dT dC T T p V ＝ ＋ V b R −         ，因： V b R −  =        T V p ， 所以 ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. =C ， 由 C V b RT V a p + − = − +2 ，当 V →  ， p → 0 ，故 C = 0 （为理想气体）， 得： (V b) RT V a p  − =      + 2 ，即范氏方程

第二章热力学第一定律1，理想气体的初始状态为：P,=1.0×10°Pa，T=300K，V,=1.0m2，求下列过程中气体所作的功：（a）等压膨胀到体积V，=2.0m（b）等温膨胀到体积V,=2.0m2(c）等容加压到压强p，=2.0×10°Pa。（答案：（a）1.0×105J；（b）n2×105J；（c）0）解：气体对外界作功：W=pdV等压膨胀到体积V,=2.0m2，W=[pdV=p(Vf-V)=1.0×105J;(a)等温膨胀到体积V,=2.0m2，(b)Vfw- a-r nL=n2×105J;V(c）等容加压到压强Pf=2.0x10°Pa，△V=0，W=0。2,1mole的某种实际气体遵守以下状态方程：p(V-b)=RT，其中b为分子体积的修正，0<b<V。导出该气体从初态的体积V,准静态地等温膨胀到终态的体积V,时，外界对气体所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？V,-b（答案：外界对实际气体所作的功为：－RTIn；比外界对理想气体所作的功少。）V,-b解：外界对气体作功：Vr-b= RTIn-bW=-J pdV=-RT_dV=-RT InJvv-bV,-bV,-bVVi理想气体，外界对气体所作的功：W理=RTIn-RTInAVi

第二章 热力学第一定律 1，理想气体的初始状态为： pi Pa 5 = 1.010 ，Ti = 300K ， 3 Vi = 1.0m ，求下列过程中 气体所作的功： （a）等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （b）等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 。 （答案：（a） J 5 1.010 ；（b） J 5 ln 210 ；（c）0） 解：气体对外界作功： W =  pdV （a） 等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ，W pdV p(V V ) J f i 5 =  = − =1.010 ； （b） 等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ， J V V p V V dV W pdV RT i f i i V i V f i 5 =  =  = ln = ln 210 ； （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 ， V = 0，W = 0。 2，1 mole 的某种实际气体遵守以下状态方程： p(V −b) = RT ，其中 b 为分子体积的修正， 0＜ b ＜ V 。导出该气体从初态的体积 Vi 准静态地等温膨胀到终态的体积 Vf 时，外界对 气体所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？ （答案：外界对实际气体所作的功为： V b V b RT i f − − − ln ；比外界对理想气体所作的功少。） 解：外界对气体作功： V b V b RT V b V b RT V b dV W pdV RT i f f V i V f i − − = − − − = − = − = −  ln ln ， 理想气体，外界对气体所作的功： i f f i V V RT V V W理 = RT ln = − ln