《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 21 Density of states and Fermi surface

5.8能态密度和费米面一.能态密度二.费米面见黄昆书4.7节与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同，固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分析中是非常重要的。费来面是固体物理中最重要的概念之一。在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种物理性质。这里费米面的含义不变，只是晶体势场的影响使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢了

5.8 能态密度和费米面： 一 . 能态密度 二. 费米面 见黄昆书4.7节 与孤立原子中的本征能态形成一系列的分立能级不同， 固体中电子的能级是非常密集的，形成准连续的分布，和 孤立原子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶 体中电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这 个函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分 析中是非常重要的。费米面是固体物理中最重要的概念之 一。在自由电子论中费米面的重要性在于：只有费米面附 近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各种 物理性质。这里 费米面 的含义不变，只是晶体势场的影响 使费米面的形状变得复杂，从而对性质的影响变得复杂罢 了

自由电子气模型schematic model ofamonovalent metal(）useqnumeno1D: hbn =- = enbn22mdrbn=Asin()2n=(芒)200T3D:-V2bk(r)=Ekbk(r)te(k)bk(r) = eikr=k?Ek =2m0

自由电子气模型

EnergyEnergyEgpi/api/a

BandStructureFreeelectrons-FLTV(r)V(r) = VoEE→metalEfinsulator"heavy"metalED(E)D(E)Figure l:The additional effects of the lattice potential can have a profound effect onthe electronic density of states (RIGHT)comparedtothefree-electron result (LEFT)

kzStateswl.k<k,areoccupiedFermisphere-volumeink-spaceoccupiedbyelectronsinthegroundstatesFermi surface-kstates wl.&=&FV4元k3N=2=#ofelectrons32元D(k)spinvolumeofFermisphere01/3)2/33元-N-andcm-1~10-81-10eVtypically

kx ky kz kF States w/. k  kF are occupied Fermi sphere – volume in k-space occupied by electrons in the ground states Fermi surface – kF states w/.  = F # of electrons (2π ) V πk 3 4 N 2 3 3  F  spin volume of Fermi sphere D(k) V 3π N 2m and ε V 3π N k 2/3 2 2 F 1/3 2 F        typically, ~ 10-8 cm-1 ~ 1 – 10 eV

T=0N = D()f()d8D(e)D()df()f()istheprobabilitythatastateofenergyisoccupied8≤8Ff(s)=0Fermi energyisimportantbecause electronicpropertiesaredominatedbystatesnear&onlykBT<< &F

f()  0 1 F F f() is the probability that a state of energy  is occupied f()= 1 ,   F 0 ,  > F      F ε 0 0 D( ε )dε N D( ε )f( ε )dε Fermi energy is important because electronic properties are dominated by states near F only kBT << F { T=0 D() 

一、能态密度：和3.1和4.2中类似，它定义为单位能量间隔内的电子状态数，和黄昆书不同，我们明确为单位体积内的能态密度。1 dZRN(E)=E+dEVdEdsdkKdZ为能量在E一E+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋）。dZ=2p(k)x(k空间中能量在E一→E+dE两等能面间的体积)和自由电子情形不同，这里的dSdk,=23等能面已经不是球面，需要根8元E=const据等能面形状具体积分才行

一、能态密度: 和3.1和4.2中类似，它定义为单位能量间隔内的 电子状态数，和黄昆书不同，我们明确为单位体积内的能态密度。   1 ddZ N E V E  kx ky dZ为能量在 E－E+dE 两 等能面间的能态数（考虑 了电子自旋）。 dZ=2(k)(k空间中能量在E → E+dE两等能面间的体积) 3 2 dd 8 E const V S k       和自由电子情形不同，这里的 等能面已经不是球面，需要根 据等能面形状具体积分才行

因为：dE = |V,E|-dkids1 dz1f所以:N(E)V,E(k)V dEEconst4元1.近自由电子的能态密度h?k?对于自由电子：E(0) (k)2m2mEk :在k空间中，能量为E的等能面是半径为h?的球面，在球面上dEV,Ekdkm

1. 近自由电子的能态密度 对于自由电子：   2 2 (0) 2 k E m   k 在 k空间中，能量为E的等能面是半径为 2 2mE k   的球面，在球面上 2 d d E E k k m    k E E k d d   k  因为： 3 1d 1 d ( ) d 4 () E const k Z S N E V E Ek      所以： 

ds1mJdsF=concons4元3h’k4元V,E(k)1(2mm4元kE4元32元2h3n?k注意：我们定义单位体积能态密度，与按黄昆书中的定义不同，所以系数中少一个体积参量！考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。下面以简单立方晶体为例，考察第一布单渊区内电子的等能面，从原点出发，等能面基本保持为球面，在接近布单渊区边界时，等能面开始向边界突出

  32 2 3 2 23 1 2 1 2 4 4 2 m m k E k         考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期 场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊 区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。 3 3 2 1 d1 () d 4 () 4 E const E const k S m NE S   E k k           注意：我们定义单位体积能态密度，与按黄昆书中的定 义不同，所以系数中少一个体积参量！ 下面以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区内电 子的等能面，从原点出发，等能面基本保持为球面，在 接近布里渊区边界时，等能面开始向边界突出

Oneelectronperprimitivecellv=1Withthecrystal potentialthe energy inside thefirst Brillouin zoneislowerclosetothezoneboundaryweakperiodicPotentialT0aconstant SotheFermisurfaceisextendedtowardthezone boundary as it getcloser

One electron per primitive cell v=1 weak periodic Potential With the crystal potential, the energy inside the first Brillouin zone is lower close to the zone boundary. So the Fermi surface is extended toward the zone boundary as it get closer. constant  k  0 a π a π 