《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 25 electron transport in metal

第七章金属电导理论

第七章 金属电导理论

按照能带论，晶体中电子速度为：-VE,(K)U,(k)X晶体中的电子是按能带分布的，处于不同能带、不同状态的电子有着不同的速度（波包速度），所以它们对电导的贡献是不同的，只有建立起能够确定外场作用下非平衡分布函数的半经典方程星一Boltzmann方程后才有可能处理好金属电导问题。除去电导以外，晶体的许多重要性质，如热导、热电效应、电流磁效应等与电子的输运过程有关的性质也和上述分析一样，需要在能带论基础上考虑。所以本章给出的结果对输运过程有普遍意义

除去电导以外，晶体的许多重要性质，如热导、热电 效应、电流磁效应等与电子的输运过程有关的性质也和上 述分析一样，需要在能带论基础上考虑。所以本章给出的 结果对输运过程有普遍意义。 ( ) 1 ( k ) E k n k n        按照能带论，晶体中电子速度为： 晶体中的电子是按能带分布的，处于不同能带、不同 状态的电子有着不同的速度（波包速度），所以它们对电导 的贡献是不同的，只有建立起能够确定外场作用下非平衡分 布函数的半经典方程—— Boltzmann 方程后才有可能处理好 金属电导问题

本章思路：金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象我们采用半经典的Boltzmann方程及其弛豫时间近似作为处理固体输运性质的基础。采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果，这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性因而在多数场合，我们更乐意使用Boltzmann方程来处理固体输运现象

本章思路： 金属载流子在外电场和温度梯度的驱动下会发生定向运 动，但他们同时也受到杂质、缺陷和晶格振动的散射，两种 因素相互竞争、最终达到平衡，从而形成稳态的输运现象。 我们采用半经典的 Boltzmann 方程及其弛豫时间近似作为处 理固体输运性质的基础。 采用半经典理论框架来处理本质上是量子力学多粒子系 统的行为，显然是有局限性的，因而需要更彻底的量子多体 理论来处理，但这类理论的具体计算比较复杂，要采用多体 Green函数，且只有在少数典型情况下取得了实用的结果， 这些结果大体验证了更加直观的上述半经典方法的可靠性， 因而在多数场合，我们更乐意使用 Boltzmann 方程来处理固 体输运现象

6.1 分布函数和Boltzmann方程（参考黄昆书6.3节p290）处于平衡时，电子的分布遵从Fermi一Dirac统计，1fo=均匀体系与E(k)-μ_1expk.T无关。其中E=E,(k)，μ～E。在有外场（如电场、磁场或温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在散射比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用由坐标r和波矢k组成的相空间中的半经典分布函数f(r,k,t)来描述电子的运动。kTKT2=EEF80EF12

6.1 分布函数和 Boltzmann方程 处于平衡时，电子的分布遵从 Fermi－Dirac 统计， 其中E = En(k)， 。在有外场（如电场、磁场或 温度梯度场）存在时，电子的平衡分布被破坏，在散射 比较弱的情况下，类似于气体分子运动论，我们可以用 由坐标 r 和波矢 k 组成的相空间中的半经典分布函数 f (r, k, t) 来描述电子的运动。 （参考黄昆书6.3节p290）   0 1 exp 1 B f E k k T             EF 均匀体系与 r 无关

分布函数f(r,k,t)的物理意义是，在t时刻，电子的位置处在r一→r+dr的体积元内，电子的状态处在k→k+dk 范围内单位体积的电子数为：2(r,k,t)d'rd'kdn8元分布函数f随时间的改变主要来自两方面：一是电子在外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为碰撞变化。因此，分布函数的变化率为：df(%) +(%) +(dtC1

分布函数 f (r, k, t)的物理意义是，在 t 时刻，电子的位 置处在 r →r+dr 的体积元内，电子的状态处在 k → k+dk 范 围内单位体积的电子数为：   3 3 3 2 d dd 8 n f rk   r,k,t 分布函数 f 随时间的改变主要来自两方面：一是电子在 外场作用下的漂移运动，从而引起分布函数的变化，这属于 破坏平衡的因素，称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞 而引起分布函数的变化，它是建立或恢复平衡的因素，称为 碰撞变化。因此，分布函数的变化率为： d c d d f fff tt t t          

afafaf为瞬变项为漂移项，为碰撞项，(at)(at)aat当体系达到稳定时，分布函数f中不显含时间t(af且=0=0at.dtafaf=0at )dLat.漂移项代表不考虑碰撞时，r，k，t处的电子来自于r-dr,k-dk,t-dt。f(r,k,t) = f(r -rdt,k - kdt,t -dt)

d f t        为漂移项， c ft        为碰撞项， ft        为瞬变项 当体系达到稳定时，分布函数 f 中不显含时间 t 0 f t         d 0 dft 且  d c 0 f f t t          漂移项代表不考虑碰撞时，r，k，t 处的电子来自于 r-dr，k-dk，t-dt。 f ( , ,) ( d, d, d) rkt f r rtk ktt t          

I存在碰撞时：aff(r,k,t) = f(r-rdt,k - kdt,t -dt)+dtatcoll可以展开f保留到dt的线性项得：afafaf.f(r -dt,k - kdt,t -dt)= f(r,k,t)-dtdtdtarakat则有：afafdt-k.f-i.aff(r,k,t)= f(r,k,t)dtdt +akatotorcoll(af)f+r.f+k.ofakat)at orcoll

则有： 可以展开 f 保留到 dt 的线性项得： ( d, d, d) ( , ,)                       f f f f r r t k k t t t f r k t dt r dt k dt trk 存在碰撞时： coll ( , ,) ( d, d, d) f f r k t f r r t k k t t t dt t                   coll coll (, ,) (, ,) f f ff f r k t f r k t dt r dt k dt dt t r kt f f ff r k t r kt                                            

因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零：af+k.afdf1Boltzmann方程akaratcoll其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出：af(r,k,t)= Z(o(k',k) f(k)[1- f(k)]-@(k,k) f(k)[1- f(k)]atcoll③(k,k),(k,k'）分别是电子从态到k态，或者反之的跃迁几率。或者表示为v.V.f+k.Vkf=b-a（黄昆书6-55式p296）

     f f ba  r k v k —— Boltzmann方程 因此稳态时，分布函数不显含时间，左边第一项为零： coll f ff r k r kt                   或者表示为: （黄昆书6-55式p296）           coll ' (, ,) ', ( ') 1 ( ) , ' ( ) 1 ( ') k f rkt k k f k f k kk f k f k t              其中碰撞项的表示比较复杂，根据量子力学可以写出：   k k kk ', , , '    分别是电子从 k’态到 k 态，或者 反之的跃迁几率

d’k'其中: b={ f(k)[1-f(k)]o(k,k)8元3k'代表单位时间内因碰撞进入（r,k）处相空间单位体积内的电子数。(k,k）代表单位时间内从k态进入k态的几率。该式考虑了泡利不相容原理。d'k'a= [ f(k)[1- f(k)]o(k,k8元3k代表了单位时间内由于碰撞而离开（r,k）处单位体积的电子数

其中：      3 3 d 1 , 8 k af f              k k k kk      3 3 d 1 , 8 k bf f             k k k kk 代表了单位时间内由于碰撞而离开（r,k）处单位体积的 电子数。 代表单位时间内因碰撞进入（r,k）处相空间单位体积内 的电子数。 代表单位时间内从 k’ 态进入 k 态的 几率。该式考虑了泡利不相容原理。 ( ', ) k k

v.V.f+k.V.f=b-aBoltzmann方程的理解左边两项称漂移项（driftterm)：右边的项称为碰撞项（collisionterm）或散射项（scattering）按照半经典模型：dr=V,E,(k)=D, (k)=dthdk= F = -e[E(r,t)+D,(k)×B(r,t)FdtBoltzmann方程就是从能带结构出发，利用这些关系，将碰撞的作用与分布函数相联系，月成为处理固体中输运现象的出发点

Boltzmann方程的理解： 左边两项称漂移项（drift term)， 右边的项称为碰撞项（collision term）或散射项（scattering) 按照半经典模型： d 1 () () d d (,) ( ) (,) d n kn n r k Ek t k F e Ert k Brt t                          Boltzmann方程就是从能带结构出发，利用这些关系，将 碰撞的作用与分布函数相联系，成为处理固体中输运现 象的出发点。      f f ba  r k v k