《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 17 band theory for solids Electrons in a weak periodic potential

第五章能带理论本章研究的问题：电子在固体中的状态1927年薛定方程1928年Bloch定理，能带论的基础1930年布里渊讨论了带隙，提出布里渊区的概念。1963Kohn建立了密度泛函理论能带理论依然是一个近似理论

第五章 能带理论 本章研究的问题：电子在固体中的状态 1927 年薛定谔方程 1928 年Bloch 定理，能带论的基础 1930 年布里渊讨论了带隙，提出布里渊区的概念。 1963 Kohn建立了密度泛函理论 能带理论依然是一个近似理论

自由电子气模型中用到的近似1、自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用，相对于离子实而言，申子是自由的，其运动范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部。这相当于将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀电荷背景，类似于凝胶，也成为凝胶模型（Jelliummodel)，由于正电荷均匀分布，施加在电子上的电场为零，对电子并无作用。2、独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用

自由电子气模型中用到的近似 1、自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用 忽略电子和离子实之间的相互作用，相对于离子实而言 相对于离子实而言，电 子是自由的，其运动范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部。这相当于将离子 实系统看成是保持体系电中性的均匀电荷背景，类似于凝胶，也成为凝胶模型 （Jellium model) Jellium model)， 由于正电荷均匀分布 由于正电荷均匀分布，施加在电子上的电场为零 施加在电子上的电场为零，对电子并 无作用。 2、独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用

自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用，相对于离子实而言，电子是自由的，其运动范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部。这相当于将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀电荷背景，类似手凝胶，也成为凝胶模型（Jelliummodel)，由于正电荷均匀分布，施加在电子上的电场为零，对电子并无作用。Born一Oppenheimer绝热近似认为电子运动的速度比原子核要快许多，因此在描述电子行为的时候，认为原子核是近似不动的，电子在原子核形成的势场中运动。周期场近似(Periodicpotentialapproximation)独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用。平均场近似：严格来说，体系中的每一对电子之间都有相互作用，平均场近似是指对于单个电子，把其他电子对它的作用看成一个平均场

自由电子近似：忽略电子和离子实之间的相互作用，相对于离子实而言， 电子是自由的，其运动范围仅因存在表面势垒而限制在样品内部。这相当 于将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀电荷背景，类似于凝胶，也 成为凝胶模型（Jellium model)， 由于正电荷均匀分布，施加在电子上的 电场为零，对电子并无作用。 Born －Oppenheimer绝热近似 认为电子运动的速度比原子核要快许多 因此在描述电子行为的 + ， 时候,认为原子核是近似不动的，电子在原子核形成的势场中运动。 周期场近似(Periodic potential approximation) + 独立电子近似：忽略电子和电子之间的相互作用。 平均场近似：严格来说，体系中的每一对电子之间都有相互作用，平均 场近似是指对于单个电子，把其他电子对它的作用看成 把其他电子对它的作用看成 个平均场 一

假定在体积V-L3中有N个带正电荷Ze的离了实，相应地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为：hhH=-Z722m+2240月一Z2M12mNZNZe?(Ze)2+224元eR.RZZ4元。-R=ln=T+Uee(i,T)+T, +Umm(R,,Rm)+Uen(j,R,)哈密顿量中有5部分组成，前两项为NZ电子的动能和电子之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑相互作用能，第五项为电子与离子实之间的相互作用能。体系的薛定调方程： Hy(F,R)=EV(F,R)

将多电子问题化为单电子问题来解决一单电子近似绝热近似NZ0H=-72元-4元。12m-NZNZe?(Ze)2224元e- R,=T,+U.(T,T)+X +U.R,R.)+U.n(T,R.)H =T +Uee(i,r)+Uen(r,R,)

将多电子问题化为单电子问题来解决 – 单电子近似 绝热近似

让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，即平均场近似：NZ2.4元eZu.(F)Uee(,)元一i=l系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：NZ27e2VH=-+u(,)-24元e。-Rm2m这时多电子问题可以化为单电子问题，单电子所受势场Ze?U(r)=ue()-4元。元-RR

让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，即平 均场近似： 这时多电子问题可以化为单电子问题，单电子所受势场：

假定电子所感受到的势场具有平移对称性（周期场近似）U(+R,)=U(F)平移对称性是晶体单电子势最本质的特点，绝热近似平均场近似周期场近似晶体内单电子运动方程为：九v?+U(n)(r)=Ey(r)2mU(+ R,)=U(F)

假定电子所感受到的势场具有平移对称性（周期场近似） 绝热近似 平均场近似 周期场近似 晶体内单电子运动方程为：

晶体内单电子运动方程为：t7?TCy(r)=Ey(r)2mU( + R,) =U(r)与Sommerfeld自由电子气模型的区别？

晶体内单电子运动方程为： 与Sommerfeld自由电子气模型的区别？

固体物理的核心理论之一：能带论1、近自由电子图像+周期势的微扰允许电子填充的能带：允带不允许电子填充的能带：禁带fa2、紧束缚近似（原子轨道线形叠加）20infinle44

固体物理的核心理论之一：能带论 1、近自由电子图像 + 周期势的微扰 允许电子填充的能带：允带 不允许电子填充的能带：禁带 2 、紧束缚近似 （原子轨道线形叠加 ）

5.1周期场中单电子状态的一般特征一.Bloch定理二.关于k取值和意义的几点讨论：三.Bloch函数的性质黄昆书4.1节p154-157虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下的单电子薛定聘方程，但具体求解仍是困难的，而且不同晶体中的周期势场的形式和强弱也是不同的，需要针对具体问题才能进行求解。Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数应具有的形式，给出了周期场中单电子状态的一般特征，这对于理解晶体中的电子，求解具体问题有着指导意义