《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 23 Electrons in magnetic field

6.4在恒定磁场中电子的运动：一：恒定磁场中的准经典运动，自由电子的量子理论三晶体中电子的有效质量近似四.回旋共振五：霍尔效应六.DeHaas-VanAlphen效应见黄昆书5.4：5.5：5.6节讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrodinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰，但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据

一。恒定磁场中的准经典运动依然沿用准经典运动的两个基本方程：kHAnVV:exdkBB,B.F=-ev(k)×B=hdt只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有Lorentz力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为

dk工B表明沿磁场方向k的分量不随时间而变，dt即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动又由于Lorentz力不做功，F，所以电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。综合以上两点，可以kB看出：电子在k空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。一般情形等能线形状是很复杂的

也可从公式dk=-=[(k)×Bdt出发直接说明此点：上式表明：磁场作用下，电子在k空间运动，其位移dk垂直于V和B所决定的平面，dk垂直于B，这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的平面内，dk还垂直于v，因为v垂直于k空间的等能面，这意味着dk处在这个等能面内，综合工述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动，日对磁场而言是反时针旋转。电子沿等能线运动，既不从磁场吸收能量电子轨道，也不把能量传递给B【等能线）磁场，这与电磁学中电荷和磁场相互作用0的规律是一致的

如图所示电子在k空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的那一点。按照上式：电子回旋运动周期：dkdkhT=dt =eBVE=constE=constF=constV取垂直于磁场的分量。回旋运动圆频率(Cyclotron frequency):2元2元eB/0dkT0hE=const这里，微分k是沿回路周边取的，一般情况形状复杂

   

k对于自由电子：(k）n'kmE(k2mdkXTdkseBdrmdtmdkeB有：dtmhkdk.=0或：Vdim电子的运动轨道为圆，如下图在等能线上，k,=const.2元2元eBeB2元eB/0.dkTmm2元k九hk



磁场作用下自由电子在k空间中的运动轨道是圆。其旋频率：e0e常数m从前面讨论中可以看出：Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化（见6.8节），其运动轨迹要复杂的多，因而其回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：eBm*是Bloch电子的有效质量m*

由上面自由电子的公式可以给出：磁场沿轴方向，有eBdv1dtmdveBV投影dtmUdy0dt在实空间中，沿磁场方向，V，是常数，即做匀速运动，电子的运动轨迹为一螺旋线

'ocosw,t=v?+解为Vosina,teB0= const.m实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。eB回转频率：0mdyY对于晶体中的电子dlF=-evxB

在主轴坐标系中有dydyv.dy1dtdtdtmxmmz若磁场方向取在z轴方向，B=Bk，即可写出其相应的准经典运动方程。dyeBdtm"Xdy,eBdtm,dv0dt这与普通物理中的结果是一致的