《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 22 Electrons in electric field

6.1晶体中电子的运动特征：Bloch电子的准经典描述-.波包与电子速度三．电子的准动量四：电子的加速度和有效质量见黄昆书5.1节p237在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完全不同于自由电子，我们称之为Bloch电子。首先分析一下它和自由电子的区别及其一般特征

一.Bloch电子的准经典描述：当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得多。因为晶体周期场强度一般相当于108V/cm。而外电场是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法有两种：求解含外场的单电子波动方程。或者是在一定条件下，把品体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理

含外场的波动方程2-v?+U(r)+VW=Ey2m通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解另一种方法是在：外场较弱且恒定。不考虑电子在不同能带间的跃迁。不考虑电子的衍射、干涉及碰撞等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用

经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在附近的△r范围内，动量取值在hk。附近的h△k范围内，△r△k满足测不准关系。把波包中心r。看作该粒子的位置，把k。看作该粒子的动量。晶体中的电子，可以用其本征函数Bloch波组成波包从而当作准经典粒子来处理

二：波包与电子速度：在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间因子的Bloch函数。首先考虑于一维情况。设波包由以K为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设K很小，可近似认为不随k而变。us (x)=us. (x)对于一确定的k，含时间的Bloch函数为V (x,t) =e(ar-o)u (x)の(k)= E(k)/h把与k.相邻近的各k'状态叠加起来就可以组成与量子态k。相对应的波包：

(k-波包 (x,t)=)dk=u (x)=uk (x)044i(kr-ot) dk~uAAdoS令k=k+D0+dkkodoY(x,1)=u。 (x)e(bor-)deexpXAdkAx-()2sin22i(kor-ot)udo七dk

为分析波包的运动，只需分析|2，即几率分布即可。sinkdo2dk(△k)Y(x, n) =u (x)AkdkdoAksinMw=xdkAkwJ飞o2波函数集中在尺度为2元的范围内，△k波包中心为：W=0。2元2元W0Ak△k

do1()有xTE(k)=ho(k)dkdkn(koKo若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为dxdE1v(kodthdkK布里渊区的宽度：2元/a，而假设k很小，一般要求2元2元即Ak>a△ka推广到三维情况，电子速度为Eh

注意，这里给出了把Bloch波当作准经典粒子处理的条件。由于Bloch波有色散，一个稳定的波包所包含的波失范围△k应是一个很小的量。Bloch波有独立物理意义的波矢被限制2元因为测不准关系在第一布里渊区内，> aApAx=hAk.Ax≥12这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度

附录：更简明的说明：量子力学告诉我们，晶体中处于状态的电子，在经典近似下，其平均速度相当于以k为中心的波包速度，而oo(k)波包的传播速度是群速度：2gak量子力学中的德布罗意关系：E=hの所以电子的平均速度：1 aE(k)2h ok