北京邮电大学：《通信系统原理》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 随机过程

第三章随机过程（review)提要：·随机过程的一般概念·通信系统中涉及的随机信号与噪声的特征表述平稳随机过程（相关函数，功率谱密度）Gauss过程窄带过程正弦波加窄带Gauss过程随机过程通过线性系统的基本分析法

第三章 随机过程（review) 提要： •随机过程的一般概念 •通信系统中涉及的随机信号与噪声的特征表述 平稳随机过程（相关函数，功率谱密度） Gauss过程 窄带过程 正弦波加窄带Gauss过程 •随机过程通过线性系统的基本分析法

1. 引言通信：保证消息的传递消息：信号（消息中的有用部分）+噪声（无用部分）信号：随机性（某个或某几个参数不能或不能完全预知），随机信号噪声：随机性随机过程：随机信号与噪声的统称分析工具：概率论与随机过程为了方便，人为地对通信系统所涉及的随机过程进行了限制：平稳或广义平稳随机过程窄带Gauss过程对噪声的描述十分理想

1. 引言 通信：保证消息的传递。 消息：信号（消息中的有用部分）+噪声（无用 部分） 信号：随机性（某个或某几个参数不能或不能完 全预知），随机信号 噪声：随机性 随机过程：随机信号与噪声的统称 分析工具：概率论与随机过程 为了方便，人为地对通信系统所涉及的随机过程 进行了限制：平稳或广义平稳随机过程 窄带Gauss过程对噪声的描述十分理想

2.随机过程的一般表述随机过程：时间的函数，在任一时刻上观察到的值是不确定的，即一随机变量。随机过程就是由全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。+n(t)随机变量实现1n(t)实现2n(t)实现nti

2. 随机过程的一般表述 • 随机过程：时间t的函数，在任一时刻上观察到的值是 不确定的，即一随机变量。随机过程就是由全部可能 实现构成的总体，每个实现都是一个确定的时间函数， 随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。 t n(t) t n(t) t n(t) 实现1 实现2 实现n t1 随机变量

示例：·n台相同的收音机，用n台相同的记录仪记录各自在同一频道的输出（噪声）波形，结果？·N条不同的曲线：噪声一一随机过程记录→随机过程的实现所有记录的集合一→随机过程的描述·随机过程的规律性：统计特性一→概率分布函数或数字特征确定·设(t)为一随机过程，则在任一时刻ti上(t)是一随机变量，那么随机变量的统计特性可用概率分布密度或概率密度函数来描述：Fi(X1,ti)=P(E(ti)≤Xi}: E(t)的一维分布函数如果Fi(xi,ti)对xi的偏导数fi (xi,ti)存在→一维概率密度函数

• n台相同的收音机，用n台相同的记录仪记录各自在同一 频道的输出（噪声）波形，结果？ • N条不同的曲线：噪声 随机过程 记录 随机过程的实现 所有记录的集合 随机过程的描述 • 随机过程的规律性：统计特性 概率分布函数或数 字特征确定 • 设ξ(t)为一随机过程，则在任一时刻t1上ξ(t1)是一随机变 量，那么随机变量的统计特性可用概率分布密度或概率 密度函数来描述： F1(x1,t1)=P{ξ(t1)≤x1}: ξ(t)的一维分布函数 如果 F1(x1,t1)对x1的偏导数f1 (x1,t1)存在 一维概率密度 函数 示例：

多维分布函数·一般情况下(t)的一维分布函数不能充分地描述随机过程的完整统计特性。通常需要在足够多的时刻上考虑随机过程的多维分布函数(t)的n维分布函数：Fn(X1,X2,...,Xn;ti,t2.... ,tn)-P(E(t1)≤X1 ,E(t2)≤X2... E(tn)≤Xn)及n维概率密度函数fn(Xi,X2,...,Xn,ti,t2,...,tn)因此，n越大，用分布函数描述的(t)）的统计特性就越充分可以说分布函数完全描述了随机过程的统计特征。而(t)的数字特征则简化了我们对随机过程的分析。通过数字特征我们能较好地理解和掌握随机过程的规律

• 一般情况下ξ(t)的一维分布函数不能充分地描述随机过程 的完整统计特性。通常需要在足够多的时刻上考虑随机过 程的多维分布函数。 • ξ(t)的n维分布函数: Fn(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn)=P{ξ(t1)≤x1 ,ξ(t2)≤x2,. ξ(tn)≤xn} 及n维概率密度函数 fn(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn) 因此，n越大，用分布函数描述的ξ(t)的统计特性就越充分 可以说分布函数完全描述了随机过程的统计特征。而ξ(t) 的数字特征则简化了我们对随机过程的分析。通过数字特 征我们能较好地理解和掌握随机过程的规律。 多维分布函数

随机过程的数字特征我们所关心的是随机过程的低阶数字特征：如数学期望，方差，相关函数等·(t) 的数学期望E[E(t)]=J+xfi(xi,t)dx=a(t)或E[X]= 2XkPka(t):E(t)的统计平均值（时间的函数），E(t)在t时刻的平均值(t) 的方差：D[E(t)]=E((t)-E[E(t)])2=α2(t)=- J+x2f(x1,t)dx-[a(t)2ε(t)在t时刻与平均值a(t)之间的绝对偏差的大小

• 我们所关心的是随机过程的低阶数字特征：如数学期 望，方差，相关函数等 • ξ(t)的数学期望： E[ξ(t)]=-∞∫ +∞xf1(x1,t)dx=a(t) 或 E[X]= ΣXkPk a(t): ξ(t)的统计平均值（时间的函数）， ξ(t)在t时刻的 平均值 • ξ(t)的方差： D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2=σ2 (t) =-∞∫ +∞x 2 f1(x1,t)dx-[a(t)]2 ξ(t)在t时刻与平均值a(t)之间的绝对偏差的大小 随机过程的数字特征

协方差函数和相关函数·两个时刻上(t)的统计相关特性，协方差函数：B(ti,t2)=E[E(ti)-a(t))] [E(t2)-a(t2)])=-oJ+[X1-a(t1)][ x2-a(t2)] f2(X1,t1; X2,t2)dxidx2·相关函数R(t1,t2)=E[E(ti)E(t2)]=-JJ+0x1 X2 f2(X1,t1; X2,t2)dxjdx2·因此：B(ti,t2)= R(t1,t2)- E[E(t1)] E[E(t2)]一般情况下，协方差函数和相关函数与时间起点有关·归一化协方差函数---相关系数：B(ti,t2)Px(ti,t2) =?(t)o?(t2)

• 两个时刻上ξ(t)的统计相关特性 • 协方差函数： B(t1,t2)=E{[ξ(t1)-a(t1)] [ξ(t2)-a(t2)]} =-∞∫ +∞[x1-a(t1)][ x2-a(t2)] f2(x1,t1; x2,t2)dx1dx2 • 相关函数： R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)] =-∞∫∫+∞x1 x2 f2(x1,t1; x2,t2)dx1dx2 • 因此： B(t1,t2)= R(t1,t2)- E[ξ(t1)] E[ξ(t2)] 一般情况下，协方差函数和相关函数与时间起点有关。 • 归一化协方差函数-相关系数： 协方差函数和相关函数： ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 2 1 2 1 2 1 2 t t B t t t t X    =

3.平稳随机过程·通信中涉及的随机过程：平稳随机过程·平稳过程：n维分布函数与时间起点无关，即给定n和t(t)的n维分布函数满足：（狭义平稳随机过程)f.(Xi,X2....,Xn;ti,t2,...,tn)= fn(Xi,X2,....Xn;ti+t,t2 +t,...,tn +t)因此，当n=1时，Fi(xi,t)与时间t无关当n=2时，F2(Xi1,X2;ti,t2)只与时间间隔t=t2-ti有关数字特征：平稳过程的数学期望及方差与无关：自相关函数只与时间间隔有关，即：E[(t)]=- +xfi(x1,t)dx=aD[E(t)]=E{E(t)-E[E(t)]}2=g2R(ti,t2)=E[E(t)E(t2)]=R(t)

• 通信中涉及的随机过程：平稳随机过程 • 平稳过程：n维分布函数与时间起点无关，即给定n和τ， ξ(t)的n维分布函数满足：（狭义平稳随机过程） fn(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn)= fn(x1,x2,.,xn;t1+τ,t2 +τ,.,tn +τ) 因此，当n=1时， F1(x1,t1)与时间t无关 当n=2时， F2(x1,x2;t1,t2)只与时间间隔τ=t2-t1有关 数字特征：平稳过程的数学期望及方差与t无关；自相关 函数只与时间间隔τ有关，即： E[ξ(t)]=-∞∫ +∞xf1(x1,t)dx=a D[ξ(t)]=E{ξ(t)-E[ξ(t)]}2=σ2 R(t1,t2)=E[ξ(t1)ξ(t2)]=R(τ) 3.平稳随机过程

广义平稳随机过程·若一(t)的数学期望，方差与t无关，自相关函数只与T有关，则(t)为广义平稳随机过程。·平稳随机过程的特性：“各态历经性”平稳随机过程：数字特征完全由随机过程中任一实现的数字特征来决定，即：ε(t)（t为任意时刻）的数字特征=ε(t)的数字特征ε(t)的数学期望（统计平均值）=任一实现的时间平均值；方差，自相关函数也可以用“时间平均”来代替“统计平均”。也就是说，从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了随机过程的所有可能状态

• 若一ξ(t)的数学期望，方差与t无关，自相关函数只与 τ 有关，则ξ(t)为广义平稳随机过程。 • 平稳随机过程的特性：“各态历经性” 平稳随机过程：数字特征完全由随机过程中任一实现的数 字特征来决定，即： ξ(t)（t为任意时刻）的数字特征= ξ(t1)的数字特征 ξ(t)的数学期望（统计平均值）=任一实现的时间平均值； 方差，自相关函数也可以用“时间平均”来代替“统计 平均”。 也就是说，从随机过程中得到的任一实现，好象它经历了 随机过程的所有可能状态。 广义平稳随机过程

统计平均与时间平均·x(t)是平稳随机过程中的任一实现，则“时间平均”为a =lim1/T -T/2/+T/2x(t)dt2=lim1/T.T/2/+T/2[x(t)-aPdtR(t) = lim1 /T -T/2/+T/2x(t)x(t+t)dt往往有：a=a, α2=c2, R(t)= R(t)满足以上三个条件的平稳随机过程称为具有“各态历经性”。结论：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性。判断方法：当t-o时，a和R(t)的均方差0,则认为该随机过程是各态历经的

• x(t)是平稳随机过程中的任一实现，则“时间平均”为： a =lim1/T -T/2∫ +T/2x(t)dt σ 2=lim1/T-T/2∫ +T/2[x(t)-a]2dt R(τ) = lim1/T -T/2∫ +T/2x(t)x(t+τ)dt 往往有： a=a, σ2= σ 2 , R(τ) = R(τ) 满足以上三个条件的平稳随机过程称为具有“各态历经 性”。 • 结论：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性。 • 判断方法：当τ ∞时，a和R(τ)的均方差 0，则认为 该随机过程是各态历经的。 统计平均与时间平均