《通信原理》课程教学资源（文献资料）连续傅里叶变换性质及其对偶关系

表6.3常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系[F(o)el' doJ f(t)e- dtF(0)=f(t):2元-9连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重连续时间函数(t)傅里叶变换F()连续时间函数f(t)傅里叶变换F(o)重要要V18(0)12元0(0)VVjo14.60ds(0)j2元dtdod+d(jo)dro()2元g*dard(o)/u(t)u(o)+ m(0)116(0)-7j2元tjotu(t)6(0--indo0221,t>0-j,0>0LraoF(0)=sgn(t) =(-1,tt[0,J0]>WVsr(cj1-/t,μt0,| >W/112reu(0),t >0e""u(t),Re(a)>0a+jot-jt2atel, Re(a) >0me"ml, >07+tio'+a'Va+joe" coso.tu(t), Re(a) >0(a+jo)+0)V0.e" sinotu(t),Re(a) >0(a+jo)°+1(-J,T>02元0e"u(0)te"u(t),Re(a) >0(a+ jo)1t''eru(t),Re(a) > 0(k-1)(t(a+ jo)tV#200-49Zo(t-IT).(0)=JesVaerV[+ s1coso[u(t+-u(f-[Sa2222re2元 2F.0(0 -ko.)k-

表 6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 ∫ +∞ −∞ = ω ω π ω f t F e d j t ( ) 2 1 ( ) F f t e dt j t ∫ +∞ −∞ − = ω (ω) ( ) 连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对 重 要 连续时间函数 f (t) 傅里叶变换 F(ω) 连续时间函数 f (t) 傅里叶变换 F(ω) 重 要 √ δ (t) 1 1 2πδ (ω) √ √ (t) dt d δ jω t 2 δ (ω) ω π d d j (t) dt d k k δ k ( jω) k t 2 δ (ω) ω π k k k d d j √ u(t) ( ) 1 πδ ω ω + j j t t π δ 2 1 ( ) 2 1 − u(ω) tu(t) 2 1 ( ) ω δ ω ω π − d d j    − = 1, 0 1, 0 sgn( ) t t t jω 2 , 0 1 t ≠ π    = , 0 , 0 ( ) ω ω ω j j F √ ( ) 0 δ t − t 0 j t e − ω j t e ω 0 2 ( ) πδ ω −ω 0 √ t0 cosω [ ( ) ( )] π δ ω +ω0 + δ ω −ω0 ( ) ( ) 0 0 δ t + t + δ t − t 0 2cosωt t0 sinω [ ( ) ( )] π δ ω +ω0 − δ ω −ω0 j ( ) ( ) 0 0 δ t + t − δ t − t 0 j2sinωt √     > − − 0 − e u t a at a + jω 1 τ − jt 1 2 ( ), > 0 − π ω τ τω e u ,Re{ } > 0 − e a a t 2 2 2 a a ω + 2 2 τ τ t + , > 0 − π τ τ ω e √ cos 0 ( ),Re{ } > 0 − e tu t a at ω 2 0 2 ( ω) ω ω + + + a j a j √ sin ( ),Re{ } 0 0 > − e tu t a at ω 2 0 2 0 ( ω) ω ω a + j + ( ),Re{ } > 0 − te u t a at 2 ( ) 1 a + jω , 0 ( ) 1 2 > − τ τ jt 2πω (ω) τω e u − ( ),Re{ } 0 ( 1)! 1 > − − − u t a k t e k at k (a j ) 1 + ω √ ∑ +∞ =−∞ = − l T δ (t) δ (t lT) ∑ +∞ =−∞ − k T k T ) 2 ( 2 π δ ω π √ 2 ( ) τ t e − 2 ) 2 ( ωτ πτ − e √ u t u t t 0 )] cos 2 ) ( 2 [ ( ω τ τ + − − ] 2 ) 0 ( 2 ) 0 ( [ 2 ω ω τ ω ω τ τ − + + Sa Sa ∑ +∞ k=−∞ jk t k F e ω0 ∑ +∞ =−∞ − k k 2 F ( k ) π δ ω ω 0

连续傅里叶变换性质及其对偶关系F(o)eadaF(0)=f(t)=tleT(T2元：-"F(o)dof(0)=F(0) = If(t)d2元连续傅里叶变换对相对偶的连续傅里叶变换对重名称名称量连续时间函数f(t)傅里叶变换F(の)连续时间函数f(t)傅里叶变换F(の)要要V线性of.(t)+ f, (t)αF(O)+BF,(0)Lre尺度比f(at),a+0可例变换f()g(o)对偶性g(t)2f(-0)V时移频移F(0-0.)f(t-to)1VF(0)e"n,f()er频域微时域微joF(o)-jif(t)4_F(0)J分性质分性质do时域积F(@) + /F(0)6(0)频域积+(0)6(1)Lf(t)dt,F(o)do分性质jo分性质-jt频域卷f(t)p(t)时域卷f(t)* h(t)F(0)H(0)V二F()*P(0)积性质积性质2元f()是实函数对称性f(1)F(-0)奇偶虚2j Im(F(o)实性质.()= Od((0)f(0)F(-0)f.(0)= Ev(f(0)Re[F(0))f'(-1)F(o)希尔伯f(t)= f(t)u(t)F(0)= R(0)+ jl()特变换R(0)= (0)*元0频域抽时域抽12F(0-k)(-n2)Vf(0)2(t-nT)F(o)Z6(α-ko.)样样TE00.帕什瓦(dt=F(o)do尔公式取反-取反共轭-共轭取反共轭取反2

连续傅里叶变换性质及其对偶关系 ∫ +∞ −∞ = ω ω π ω f t F e d j t ( ) 2 1 ( ) F f t e dt j t ∫ +∞ −∞ − = ω (ω) ( ) 1 (0) ( ) 2 f Fd ω ω π +∞ −∞ = ∫ F f t dt (0) ( ) +∞ −∞ = ∫ 连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对 重 要 名称 连续时间函数 f (t) 傅里叶变换 F(ω) 名称 连续时间函数 f (t) 傅里叶变换 F(ω) 重 要 √ 线性 ( ) ( ) 1 2 αf t + βf t ( ) ( ) αF1 ω + βF2 ω √ 尺度比 例变换 f (at), a ≠ 0 ( ) 1 a F a ω 对偶性 f (t) g(ω) g(t) 2πf (−ω) √ √ 时移 ( ) 0 f t − t 0 ( ) j t F e ω ω − 频移 j t f t e 0 ( ) ω ( ) F ω −ω0 √ 时域微 分性质 f (t) dt d jωF(ω) 频域微 分性质 − jtf (t) (ω) ω F d d √ 时域积 分性质 ∫−∞ t f (τ )dτ (0) ( ) ( ) π δ ω ω ω F j F + 频域积 分性质 (0) ( ) ( ) f t jt f t + π δ − σ σ ω F d ∫−∞ ( ) √ 时域卷 积性质 f (t) * h(t) F(ω)H(ω) 频域卷 积性质 f (t) p(t) ( ) * ( ) 2 1 ω ω π F P √ √ 对称性 f (−t) ( ) * f t ( ) * f −t F(−ω) ( ) * F −ω ( ) * F ω 奇偶虚 实性质 f (t) 是实函数 f o (t) = Od{f (t)} f e (t) = Ev{f (t)} j Im{F(ω)} Re{F(ω)} 希尔伯 特变换 f (t) = f (t)u(t) F(ω) = R(ω) + jI(ω) πω ω ω 1 R( ) = I( ) * √ 时域抽 样 ∑ +∞ =−∞ − n f (t) δ (t nT) ∑ +∞ =−∞ − k T F k T ) 2 ( 1 π ω 频域抽 样 ∑ +∞ =−∞ − n f t n ) 2 ( 1 0 ω0 π ω ∑ +∞ =−∞ − k F( ) ( k ) ω δ ω ω0 √ 帕什瓦 尔公式 ω ω π f t dt F d 2 2 ( ) 2 1 ( ) ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ = 取反-取反 共轭-共轭取反 共轭取反- 2