烟台大学：《通信原理》课程教学资源（PPT课件）第3章 随机过程

通信原理第3章随机过程2

2 通信原理 第3章 随机过程

第3章随机过程3.1随机过程的基本概念■什么是随机过程？，随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看：角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。3

3 第3章 随机过程 ⚫ 3.1 随机过程的基本概念 ◼ 什么是随机过程？ ◆ 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看： ◆ 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合

第3章随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形样本函数（t）：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程 : 三(t)=(i (t), 52(t),...,Sn(U))是全部样本函数的集合。(t)5,(t)52(t).(t)0

4 第3章 随机过程 【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形  样本函数i (t)：随机过程的一次实现，是确定的时 间函数。  随机过程： (t) ={1 (t), 2 (t), ., n (t)} 是全部样本函数的集合。  ()t t 0 1 2 ( ) ( ) ( ) n t t t   

第3章随机过程角度2：随机过程是随机变量概念的延伸口在任一给定时刻t上，每一个样本函数（t)都是一个确定的数值（t），但是每个（t)都是不可预知的口在一个固定时刻t上，不同样本的取值(（t),i=1,2，….,n)是一个随机变量，记为（t)。换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。日因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不后时刻的随机变量的集合。口这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述5

5 第3章 随机过程 ◆ 角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。  在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1 )，但是每个i (t1 )都是不可预知的。  在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1 ), i = 1, 2, ., n} 是一个随机变量，记为 (t1 )。  换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。  因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同 时刻的随机变量的集合。  这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述

第3章随机过程3.1.1随机过程的分布函数·设(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t,的值(t)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程(t)的一维分布函数：F(x;t)= P[E(t)≤x]，随机过程(t)的一维概率密度函数aF(x;t)fi(xi;t) =Ox若上式中的偏导存在的话。6

6 第3章 随机过程 ◼ 3.1.1随机过程的分布函数 ◆ 设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1 ) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。 ◆ 随机过程 (t)的一维分布函数： ◆ 随机过程 (t)的一维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 ( ; ) [ ( ) ] 1 1 1 1 1 F x t = P  t  x 1 1 1 1 1 1 1 ( ; ) ( ; ) x F x t f x t   =

第3章随机过程随机过程(t)的二维分布函数：F2(x1,x2;t),t2,) = P(≤(t)≤x1,E(t2)≤x2 )随机过程(t)的二维概率密度函数0F2(x,X2;ti,t2)f2(x,x2;ti,t2) =ax, ·Ox2若上式中的偏导存在的话。随机过程(t)的n维分布函数：Fn(xi,X2,..",Xn;ti,t2,...tn)= P(≤(t)≤ x1,≤(t2)≤x2, ***,E(th) ≤ xn )·随机过程(t)的n维概率密度函数：o"F(x, X2,.", Xn; ti, t2,", th)f.(X, X2,.., Xn; tp, t2,., th)=x,Ox2 ..Ox,7

7 第3章 随机过程 ◆ 随机过程 (t) 的二维分布函数： ◆ 随机过程 (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 ◆ 随机过程 (t) 的n维分布函数： ◆ 随机过程 (t) 的n维概率密度函数： F2 (x1 , x2 ;t 1 ,t 2 ,) = P(t 1 )  x1 ,(t 2 )  x2  1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ; , ) x x F x x t t f x x t t    =  n n  n n n P t x t x t x F x x x t t t = ( )  , ( )  , , ( )  ( , , , ; , , ) 1 1 2 2 1 2 1 2       1 2 n n 1 2 n 1 2 n n n 1 2 n 1 2 n x ( x t ) ( x t )     =      x x F x x t t f x x t t ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ； ， ，

第3章随机过程3.1.2随机过程的数字特征·均值（数学期望）：在任意给定时刻t,的取值(t)是一个随机变量，其均值E[5(t)]= [xif(x;t)dxi式中f(xi,t）-(t)的概率密度函数由于t,是任取的，所以可以把t 直接写为t，x,改为x，这样上式就变为E[E(t)]= ( xf(x;t)dx8

8 第3章 随机过程 ◼ 3.1.2 随机过程的数字特征 ◆ 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1 )是一个随机变量，其均值 式中 f (x1 , t1 ) －  (t1 )的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x， 这样上式就变为     − E (t) = xf1 (x;t)dx     − 1 = 1 1 1 1 1 E (t ) x f (x ;t )dx

第3章随机过程E[ε(t)]= xfi(x;t)dx(t)的均值是时间的确定函数，常记作α（t），它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心：E(t)a (t)5,(t)52(t):En(t)0

9 第3章 随机过程  (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表 示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :     − E (t) = xf1 (x;t)dx  ()t t 0 1 2 ( ) ( ) ( ) n t t t    a (t )

第3章随机过程·方差D[E(t)] = E( [E(t) -a(t)]}?)方差常记为2(t)。这里也把任意时刻t,直接写成了t。因为D[()] = E[2(t)- 2a(0)()+ α?()]= E[(t)] -2a(t)E[(]+a(t)E[2(t)]-α?(t)= fmx° f(x;t)dx -[a(t)均值平方均方值所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a（t)的偏离程度10

10 第3章 随机过程 ◆ 方差 方差常记为 2 ( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随 机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。   2 D[(t)] = E [(t) − a(t)]  ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 E ξ t a t E ξ t a t E ξ t a t D ξ t E ξ t a t ξ t a t = − = − + = − + 2 1 2 = x f (x t)dx −[a(t)]   − ; 均方值 均值平方

第3章随机过程相关函数R(ti,t,) = E[E(t)(t2))/xjx2f2(xj,x2;tj,t2)dx,dx式中，(t)和(t)分别是在t,和t,时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(ti,t)是两个变量t,和t,的确定函数·协方差函数B(ti,t2) = E([E(t) -a(t)][E(t)-a(t,)])= [ [ [x -a(t)][x2 -a(t2)]f2(xi,x2;t),t2)dx,dx2式中α（ti）α（t2）-在t,和t时刻得到的(t)的均值f(xi,x2;tj,t）-(t)的二维概率密度函数。11

11 第3章 随机过程 ◆ 相关函数 式中，  (t1 )和 (t2 )分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变 量。可以看出，R(t1 , t2 )是两个变量t1和t2的确定函数。 ◆ 协方差函数 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1 , x2 ; t1 , t2 ) －  (t)的二维概率密度函数。 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )] x x f x x t t dx dx R t t E t t    −  − = =     1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 [ ( )][ ( )] ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] x a t x a t f x x t t dx dx B t t E t a t t a t = − − = − −    −  −  