武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第七章 数值积分与数值微分（7.1-7.2）代数精确度

Chapter 7 数值积分与数值微分

Chapter 7 数值积分与数值微分

内容提纲( Outline) 求积公式的代数精度 插值型求积公式 复化求积法

内容提纲（Outline) ➢ 求积公式的代数精度 ➢ 插值型求积公式 ➢ 复化求积法

为什么要数值积分? Why do we do numerical integral? 在微积分里,按 Newton- Leibniz公式求定积分 ()=f(x dx= F(6-F(a) 要求被积函数x) 矿有解析表达式; ufx)的原函数F(x)为初等函数

为什么要数值积分？ 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数． ( ) ( ) ( ) ( ) b a I f f x dx F b F a = = −  Why do we do numerical integral?

问题 八(x)没有解析表达式,只有数表形式 e.g 12345 f(x)44.5688.5 fx)有表达式,但原函数不是初等函数 g dx (arctan x/xddx 它们的原函数都不是初等函数

问题 ☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. ☎ f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g. ， 它们的原函数都不是初等函数. 1 2 0 x e dx −  1 0 (arctan ) x x dx  x 1 2 3 4 5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5

求定积分就得通过近似计算一数值积分求得积分 近似值 基本思想是对被积函数进行近似,给出数值积分, 同时考虑近似精度。 下面首先给出代数精确度的概念

求定积分就得通过近似计算－数值积分求得积分 近似值 基本思想是对被积函数进行近似，给出数值积分， 同时考虑近似精度。 下面首先给出代数精确度的概念

71代数精确度 本章讨论的是形如 (0=a(x)(x)k 的定积分的数值计算,其中a(x)为权函数, 要满足54节中所提的条件

7.1 代数精确度 本章讨论的是形如 的定积分的数值计算，其中 为权函数， 要满足5.4节中所提的条件. ( ) ( ) ( ) b a I f x f x dx =  ( ) x

般把积分区间n个点{xk}上的函数值fx)加权Ak 的和 ∑4f(x) 作为积分(力的近似 ∑4f(x)≈/() 或记 1()=∑4f(x)+R(a,/(2) k=1

一般把积分区间n个点{xk}上的函数值f(xk )加权Ak 的和 作为积分I(f)的近似, 即 或记 (2) 1 ( ) ( ) ( , ) n k k k I f A f x R f  = = +  1 ( ) n k k k A f x =  1 ( ) ( ) n k k k A f x I f =  

()=∑4f(x)+R(a, 式中xk,A分别称为求积节点、求积系数求积 系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积 区间、权函数有关.称公式(2)为n点求积公式, 有时也称 l()=∑4(x) 为一个n点求积公式,RG,)为求积公式的误 差.用此公式)求积分近似值的计算称为数值积 分或数值微分

上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积 系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积 区间、权函数有关．称公式(2)为n点求积公式， 有时也称 为一个n 点求积公式 ， 为 求积公式的 误 差．用此公式)求积分近似值的计算称为数值积 分或数值微分． 1 ( ) ( ) ( , ) n k k k I f A f x R f  = = +  1 ( ) ( ) n n k k k I f A f x = =  R f ( , ) 

构造或确定一个求积公式,要讨论解决的问题有 ()确定求积系数4和求积节点n; (i)求积公式的误差估计和收敛性 用什么标准来判定两个节点数相同的求积 公式的“好”与“差”呢?通常用“代数精确 度”的高低作为求积公式“好”与“差”的 个标准.在后面的讨论中我们将看到,节点相 同的求积公式,代数精确度越高,求出的积分 近似值精确度一般越好.下面给出代数精确度 的定义

构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有 (i) 确定求积系数Ak和求积节点n； (ii) 求积公式的误差估计和收敛性． 用什么标准来判定两个节点数相同的求积 公式的“好”与“差”呢？通常用“代数精确 度”的高低作为求积公式“好”与“差”的一 个标准．在后面的讨论中我们将看到，节点相 同的求积公式，代数精确度越高，求出的积分 近似值精确度一般越好．下面给出代数精确度 的定义．

定义1若对任意的p(x)∈Pa,b 求积公式(2)的误差都满足R(a,x)≠0,则称 该求积公式具有n次代数精确度 验证一个求积公式所具有的代数精确度用 定义1是极不方便的,为此给出另一个定义

定义１ 若对任意的 ， 求积公式(2)的误差都满足 ，则称 该求积公式具有n次代数精确度． 验证一个求积公式所具有的代数精确度用 定义１是极不方便的，为此给出另一个定义． ( ) [ , ] n n p x P a b  1 ( , ) 0 n R x  + 