武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第五章 习题（部分）

第五章函数逼近 1、设f(x)=,在[-1,1上求f(x)的一次最佳一致逼近多项式。 3+x 2、设f(x)∈Ca,b]试证明:f(x)的零次最佳一致逼近多项式p(x)=(M+m),其中M,m 分别为f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。 3、求f(x)=x2+3x2-1在[0,1]上的3次最佳一致逼近多项式。 4、选取常数a,b使 maxle'-ax-b最小。 5、给定p(x)=1-x+x2-x3+x4,0≤x≤1.试在容许误差0.008的要求下降低p(x)的次数 分析:本题是在[0,1]上考虑问题的。要降低多项式的次数,一般用切比雪夫多项式来做。 因此必须将[0,1]变换到[-1,1 6、假定f(x)∈CO,,p(x)∈p0,1]为对f(x)n次最佳一致逼近多项式。证明: f(x)-p(x≤ (n+1) 7、求f(x)=x2在[-1,1]上的一次最佳平方逼近元(权函数p(x)=l(f,8)=f(x(x)dx)

第五章 函数逼近 1、 设 x xf + = 3 1 )( ，在[-1，1]上求 的一次最佳一致逼近多项式。 xf )( 2、 设 ∈ baCxf ],[)( 。试证明： 的零次最佳一致逼近多项式 xf )( )( 2 1 )(0 += mMxp ，其中 M , 分别为 在[a, b]上的最大值和最小值。 m xf )( 3、 求 4 xxxf 2 −+= 13)( 在[0，1]上的 3 次最佳一致逼近多项式。 4、 选取常数 a , b 使 baxex x −− ≤≤ 10 max 最小。 5、 给定 1)( 432 xxxxxxp ≤≤+−+−= .10, 试在容许误差 0.008 的要求下降低 的次数 xp )( 分析：本题是在[0，1]上考虑问题的。要降低多项式的次数，一般用切比雪夫多项式来做。 因此必须将[0，1]变换到[-1，1] 6、 假定 ∈Cxf n+1 ]1,0[)( ， n * ∈ Pxp n ]1,0[)( 为对 的xf )( n 次最佳一致逼近多项式。证明： . )!1( )( )()( )1( * + ≤− ∞ + ∞ n xf xpxf n n 7、 求 在 )( = xxf 2 [-1，1]上的一次最佳平方逼近元（权函数 ∫ ）。 − == 1 1 ρ )()(),(,1)( dxxgxfgfx