武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第四章 习题

第四章插值法 习题 给定函数值表如下 f(x) 145 3.14 试用不少与三种插值公式求f(2.1)的近似值。 2.利用f(x)=x5,取节点x=0,x=1,x=-1,作插值求3,并估计截断误差。 3.利用差分性质证明: H(m)=13+23+…+n3= (n+1) 4.若∫(x)=anx+a1x+…+a-x+a有互异的n个实根x,x2,…x证明: 5.利用 Lagrange插值多项式,证明: ∑(-1)-n-,m>n, (2)mmmt k-C.C,,m>n,m,neN 6.给定函数f(x)=x20≤x≤3.,]的分化为3]3等份,试求f(x)在此分划z上的 S(x)∈S2(x,3),使的S(x)=f(x),(=0,1…,3),S(x)=f(x0)以及S(x3)=f(x3) 7.求H(x)=PD2],使H(0)=H(0)=0,H(1)=H()=1,H(2)=1 8.若,(x)= (=0,1…n,证明 (1)∑(x1-x)(x)=0l=1,2 (2)l0(x)=1+ 十…十 9.下面三次多项式p(x)的表中,p(x)的一个值有误差,试将其找出并校正

第四章 插值法 习题 1． 给定函数值表如下： x 0 1.5 3.4 6.8 f (x) 1.45 3.14 4.65 4.11 试用不少与三种插值公式求 f (2.1) 的近似值。 2． 利用 f (x) = 3 1 x ，取节点 x = 0 ， x = 1， x = −1，作插值求 3 3 ，并估计截断误差。 3． 利用差分性质证明： 2 3 3 3 2 ( 1) ( ) 1 2 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + + + = n n H n " n 4． 若 n n n n f x = a x + a x + + a − x + a − 1 1 0 1 ( ) " 有互异的 n 个实根 n x , x , , x 1 2 " 证明： = ∑ ′ = n j j k j f x x 1 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − ≤ ≤ − − = − = − − − − − 1 0 0 2 1 2 1 0 1 2 1 a k n k n a k a a k n n n 5． 利用 Lagrange 插值多项式，证明： (1) m n m n N m k C C m n k n n m n k n k > ∈ − = − − ∑= − ( 1) , , , 1 0 (2) C C m n m n N m k k m n m k n n k n m n k > ∈ − = − − ∑= − ( 1) , , , 0 6． 给定函数 ( ) ,0 3,[ ] 0,3 4 f x = x ≤ x ≤ 的分化 π 为 [0,3] 3 等份，试求 f (x) 在此分划π 上的 ( ) (π ,3), p S x ∈ S 使的 0 0 ( ) ( ),( 0,1 ,3), ( ) ( ) i i Sx f x i S x f x == = " ′ ′ 以及 3 3 Sx f x ′ ′ () () = 7． 求 H(x) = P4 [ ] 0,2 ，使 H(0) = H′(0) = 0, H(1) = H′(1) = 1, H(2) = 1 8．若 j i i i i j j x x n x x l x − − = ∏=0, ≠ ( ) (j=0,1……n),证明： (1) 0 ( ) ( ) 0, 1, 2, , n l j j j x xl x l n = ∑ − == " (2) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 0 n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l x − − − − − − + + − − − − + − − = + − " " " 9． 下面三次多项式 ( ) 3 p x 的表中， ( ) 3 p x 的一个值有误差，试将其找出并校正 x -3 -2 -1 0 1 2 3 ( ) 3 p x -28 -9 -2 -1 1 7 26

10.给定函数f(x)=sinx的函数值表格如下 0.1740.191 0.208 0.225 试用线形插值方法求sin(116)的近似值smi(116),并求出 si(r6)-sin(r6)与理论误差估计的绝对误差限作比较,若不符,应当作何解

10． 给定函数 f (x) = sin x 的函数值表格如下： x D 10 D 11 D 12 D 13 sin x 0.174 0.191 0.208 0.225 试用线形插值方法求 sin 11 6 ( ′) D 的近似值 ( ) * sin 11 6′ D ，并求出 sin 11 6 ( )′ D - ( ) * sin 11 6′ D 与理论误差估计的绝对误差限作比较，若不符，应当作何解 释？