武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第1章 基本知识习题

第1章基本知识 把下列各数按四舍五入规则舍入为有3位小数的近似数,并写出近似数的绝对误差和 相对误差,指出近似数有几位有效数字: 93.1822 4.32250, 15.94774,173675 2.证明以下各题 (1)设x∈RP≥,那么|xxsN小x: (2)limx-3l (3)记f(x)=,那么,对所有的x∈R",f(x)是连续函数 证明对所有x≠0,1imA"x=0的充要条件是limA"=0 4.设A是非奇异矩阵,A是A的任意特征值,4是相容矩阵范数,证明 5.设是从属的矩阵范数,A是非奇异矩阵,证明|‖=mi4x 6.证明ABAB和4Bl=4|Bl2 7.证明4[:4A4L 8.设A∈M,|x是已知向量范数,证明=max∑a 9.设川是从属矩阵范数,A是n阶矩阵且4<1,则矩阵/±4都是非奇异的,且 I±A)≤ 1-4 10.设A∈M非奇异,证明 (1)若A为正交矩阵,则cond2(4)=l (2)若U为正交矩阵,则cond(A=cond2(AU)=cond2U (3)若B=AA,则cond2(B)=cond2()

第1章 基 本 知 识 1． 把下列各数按四舍五入规则舍入为有 3 位小数的近似数，并写出近似数的绝对误差和 相对误差，指出近似数有几位有效数字： 93.18222， 4.32250， 15.94774， 17.36751 2． 证明以下各题： （1） 设 ,p≥1,那么 n x∈ R 1/ p p x ∞ x x N ∞ ≤ ≤ ； （2） lim p p x x →∞ ∞ = ； （3） 记 f ( ) x x = ，那么，对所有的 ，n x∈ R f ( ) x 是连续函数. 3．证明对所有 x ≠ 0 ，lim 0 m m A x →∞ = 的充要条件是lim 0 m m A →∞ = 4．设 A 是非奇异矩阵，λ 是 A 的任意特征值， A 是相容矩阵范数，证明 I ≥1； 1 1 A A− ≤ ≤ λ 5．设 g 是从属的矩阵范数，A 是非奇异矩阵，证明 1 1 1 minx A A x − = − = 6．证明 F 2 F AB AB ≤ 和 F F 2 AB AB ≤ 7．证明 2 2 1 A A A ∞ ≤ 8．设 A∈ M ， 2 x 是已知向量范数，证明 1 1 max n ij i n j A ∞ a ≤ ≤ = = ∑ 9．设 ⋅ 是从属矩阵范数，A 是 n 阶矩阵且 A <1，则矩阵 I A ± 都是非奇异的，且 ( ) 1 1 1 1 1 A A I A − ≤ ≤ + − ± 10．设 A∈M 非奇异，证明： （1）若 A 为正交矩阵，则 2 cond () 1 A = （2）若 U 为正交矩阵，则 2 2 () ( ) ( ) 2 cond cond cond A = = AU UA （3）若 ，则 T B AA = 2 2 2 cond cond () () B A =