武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第三章 习题

第3章非线性方程(组)的数值解法 1.用对分区间法求方程x2-2x3-4x2+4x+4=在区间[02]内的根,使误差不超过 10 2.若将方程x-x2-1=0写成下列几种迭代函数求不动点的形式 (1)x=a(x)=1+x2 (2)x=2(x)=1+ x (3)x=93(x)= 试判断由它们构成的迭代法在x=1.5附近的收敛性.选择一种收敛的迭代法,求在1.5 附近的根,并用 Aitken方法加速,使x+1-x×10 3.试证:对任意初值x,由代公式xn=coSxn,n=0,1,2,L所生成的序列{xn}都 收敛于方程x=cosx的解 4.检验下列序列是否线性收敛于0: (1){12L 323 ; (2){22L,L (3){ 23,,k为任何正整数 5.证明:序列{,1 ,L, 1010210101 102L平方收敛于0 6.求f(x)=0的根,将方程写成迭代形式:x=g(x)=x+cf(x),其中c≠0为常数,若 f(a)=0且f(a)≠0,为使选代序列xn+=g(xn)收敛于a,应如何选择常数 c 7.用 Newton法求方程x3-3x-1=0在x=2附近的实根

第3章 非线性方程（组）的数值解法 1． 用对分区间法求方程 432 x − − + += 2 4 4 40 xxx 在区间[0,2] 内的根，使误差不超过 . 2 10 − 2． 若将方程 3 2 x − −= x 1 0 写成下列几种迭代函数求不动点的形式： （1） 2 3 1 x x = = ϕ ( )x 1+ ； （2） 2 2 1 x ( )x 1 x = =+ ϕ ； （3） 3 1 1 ( ) x x = = ϕ x − . 试判断由它们构成的迭代法在 x 0=1.5 附近的收敛性. 选择一种收敛的迭代法，求在 1.5 附近的根，并用 Aitken 方法加速，使 4 1 1 2 x x k k 10− + − ≤ × . 3． 试证：对任意初值 ，由迭代公式 x 0 x x n n +1=cos ，n=0,1,2,L 所生成的序列{x n} 都 收敛于方程 x=cos x 的解. 4． 检验下列序列是否线性收敛于 0： （1） 2 1 11 1 1, , , , , 3 3 3n− ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ L L ； （2） 22 2 11 1 1, , , , , 2 3 n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ L L ； （3） 11 1 1, , , , , 2 3kk k n ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ L L ⎬ ，k 为任何正整数. 5． 证明：序列 248 1 11 1 1 1 , , , ,, , 10 2 10 10 10 10 n− ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ L L 平方收敛于 0. 6． 求 的根，将方程写成迭代形式： f x() 0 = x = g x x cf x () () = + ，其中c ≠ 0为常数，若 f () 0 α = 且 ，为使迭代序列 ' f ( ) α ≠0 1 ( ) x n+ =g x n 收敛于α ，应如何选择常数 c ？ 7． 用 Newton 法求方程 3 x − −= 3 10 x 在 x 0=2 附近的实根

8.常数A的m次根可由对方程x-A=0或1-4=0用 Newton法求得,验证它们相 应的 Newton迭代格式分别为x+=(m-)x+2,x…=(m+)x.-3 9.设x为f(x)的m重零点若将 Newton法修改如下:x,=x-m(x),证明此 迭代格式至少具有2阶收敛速度 f∫(z) 10.ewon法可用于求复根,迭代公式仍为-f()在=012L这里f(=)为 复变量2=x+iy的复值函数设∫(z)=g(x,y)+i(xy)(这里g,h为实函数) 试证:为避免复数运算,zA的实部、虚部可分别表示为 Xu-x 88:+hh,( (b)y、h8181m,k=012L g:+8, g+8, 其中g,8,分别表示对xy求导(其余记号类似) 试分别用(a),(b)两种迭代格式求解方程z+=0,分别取初始值z=1+i,20-玉 1l.设a为方程f(x)=0的单重根,定义迭代法:x f(x2+4(x2|,这里 ∫(x)"(x) (x)-(x).若序列{x}收敛于,证明:其收敛速度至少是3阶的 f∫(x) 2.用割线法求方程f(x)=x-3x-1=0在x=2附近的实根,要求|xk+1-xA103或者 (x≤10 13.设x为f(x)=0的根,在x的某领域内∫(x)连续且f(x)≠0,证明则对充分 接近x的初始值xox,割线法收敛,且收敛速度至少为一阶

8． 常数 A 的 m 次根可由对方程 0 m x −A = 或1 m 0 A x − = 用 Newton 法求得，验证它们相 应的 Newton 迭代格式分别为 1 1 1 ( 1) k k m k m m A x x x + − ⎡ ⎤ = −+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ， 1 1 1 ( 1) m k k k m m x x x A + + ⎡ ⎤ = +− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 9． 设 * x 为 f ( )x 的 m 重零点. 若将 Newton 法修改如下： 1 ' ( ) ( ) k k k k f x x xm f x + = − ，证明此 迭代格式至少具有 2 阶收敛速度. 10．Newton 法可用于求复根，迭代公式仍为 1 ' ( ) ( ) k k k k f z z z f z + = − ，k=0,1,2,L .这里 f ( )z 为 复变量 的复值函数 z x iy = + . 设 f () (,) (,) z g xy xy = + ih （这里 g，h 为实函数）. 试证：为避免复数运算， 的实部、虚部可分别表示为 z k +1 （a） 1 2 2 x x k k x y g g h h x x g g + + = − + ，（b） 2 2 1 x x k k x y h h g g y y g g + − = − + ， k=0,1,2,L ， 其中 g x ， 分别表示对 x,y 求导（其余记号类似）. g y 试分别用（a），（b）两种迭代格式求解方程 2 z +1 0= ，分别取初始值 ， z 0= +1 i 0 1 3 z = . 11．设α 为方程 f x( ) =0 的单重根，定义迭代法： 1 ' () () () () 1 2 n n nn n n n f ' x x xx x f x x μ μ + ⎡ ⎤ = − +− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ，这里 ' ( ) ( ) ( ) f x x f x μ = . 若序列{x n} 收敛于α ，证明：其收敛速度至少是 3 阶的. 12．用割线法求方程 f x( ) =− = x x 3 3 0 −1 在 x 0=2 附近的实根，要求 3 x x k k 1 10− + − ≤ 或者 3 f ( ) xk 10− ≤ . 13．设 * x 为 f x() 0 = 的根，在 * x 的某领域内 " f ( )x 连续且 ' f x( ) ≠ 0 ，证明则对充分 接近 * x 的初始值 ，割线法收敛，且收敛速度至少为一阶. 0 1 x x