武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第二章 习题（部分）

第2章求解线性方程组的数值方法 1.设A是n阶矩阵,且经过 Gauss消去法一步消去后变为an (0A2 证明:(1)如果A是实对称矩阵,那么A2也是对称的; (2)如果ala(i=1,2,L,n),称A为(按行)严格对角占优矩阵,那么A2也是严格对角 占优 2.设A是各阶主子阵都是非奇异的n阶矩阵试推导出将A分解为一个下三角矩阵L与一个单位上三角矩阵R 相乘的计算公式(A=R为A的 Crout分解) 3.设A是n阶实对称矩阵,其第i阶主子阵(i=1,2,L,n-1)均非奇异证明:A有唯一的分解式 A=LD,A其中L为单位下三角矩阵,D为对角阵 4.设Ax=b是n阶非奇异方程组,x和x分别是其精确解和近似解.记r=b-Ax,证明 scond(a) b 5.设二阶方程组的系数矩阵和右端向量分别为 0.990.b=,其精确解为x=(100 0.99 -100 100.5 (1)分别取近似解x1=,x2-995计算残向量r=b-x(i=1,2) (2)计算cond(A),并以此分析(1)所计算的结果 6.设逐次逼近法xk+1=Bx+g,k=0,1,2,L的代矩阵B有p(B)=0.证明:对任意初始向量x,至 多迭代n次就可以得到方程组x=Bx+g的精确解 02 10 设B=2 1 28=1,验证p(B)=0,并以x=0验证上述结果 1 1 1-2 0 2

第2章 求解线性方程组的数值方法 1． 设 A 是 n 阶矩阵，且经过 Gauss 消去法一步消去后变为 11 1 0 2 T a A α ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 证明：（1）如果 A 是实对称矩阵，那么 A2 也是对称的； （2）如果 ii ij j i a a ≠ >∑ (i =1,2, , L n) ，称 A 为（按行）严格对角占优矩阵，那么 A2 也是严格对角 占优. 2． 设 A 是各阶主子阵都是非奇异的 n 阶矩阵.试推导出将 A 分解为一个下三角矩阵 L 与一个单位上三角矩阵 R 相乘的计算公式（A=LR 为 A 的 Crout 分解）. 3． 设 A 是 n 阶实对称矩阵，其第 i 阶主子阵（ i = 1, 2, , 1 L n − ）均非奇异.证明：A 有唯一的分解式 T A = LDL ，A 其中 L 为单位下三角矩阵，D 为对角阵. 4． 设 Ax b = 是 n 阶非奇异方程组， * x 和 ~ x 分别是其精确解和近似解 . 记 ， 证 明 ~ r b Ax = − * * ( ) x x r cond A x b ≤ − 5． 设二阶方程组的系数矩阵和右端向量分别为 1 0.99 0.99 0.98 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， ，其精确解为 1 1 b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ * 100 100 x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − （1）分别取近似解 ， 计算残向量 （ ~ 1 1 0 x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ~ 2 100.5 99.5 x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ − ⎟ ~ r A i b xi = − i = 1, 2 ）. （2）计算 cond ∞( ) A ，并以此分析（1）所计算的结果. 6． 设逐次逼近法 x x k k +1 = + B g ，k = 0,1, 2,L 的迭代矩阵 B 有 ρ() 0 B = . 证明：对任意初始向量 ，至 多迭代 n 次就可以得到方程组 x 0 x = + Bx g 的精确解. 设 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 B ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， 1 2 1 1 2 g ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎟ ，验证 ρ() 0 B = ，并以 验证上述结果. x 0 = 0

设求解方程组Ax=b的逐次逼近法为x1=(Ⅰ-BAx4-Bb,其中B是非奇异矩阵.证明:当 (A-B(A-B)的最大特征值小于BB的最小特征值时逐次逼近法收敛 设逐次逼近法xA=Hx4+b,证明:如果存在对称正定矩阵P,使B=P-HPH 为对称正定矩阵,那么逐次逼近法收敛 a d .设A=a1a,其中a∈R (1)对a的哪些值, Jacobi迭代法收敛? (2)对a的哪些值,G-S迭代法收敛? 10-10 0.设三阶方程组Ax=b中,A=-110-2,b=7,写出用SOR迭代法求解的迭代公式,并取 0-210 x。=0,O=1.3,求出方程组的解 1.设A是对称正定矩阵,从方程组Ax=b的近似解出发,依次沿直线x=x4+te;,i=1,2,L,n 求二次泛函H(x)=xAx-2bx的极小点,验证这样的迭代过程就是GS迭代法 2.设A是n阶对称正定矩阵,{p}(=01L,n-1)是A共轭向量组证明:A-8PP p, Ap

7．设求解方程组 的逐次逼近法为 Ax b = 1 1 1 ( ) xk k I BA B x b − + =− − − ) ，其中 B 是非奇异矩阵. 证明：当 ( )( T A B− A−B 的最大特征值小于 的最小特征值时逐次逼近法收敛. T B B 8．设逐次逼近法 xk k +1 = + H x b ，证明：如果存在对称正定矩阵 P，使 T B P H PH = − 为对称正定矩阵，那么逐次逼近法收敛. 9．设 1 1 1 a a A a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，其中 a R ∈ . （1）对 a 的哪些值，Jacobi 迭代法收敛？ （2）对 a 的哪些值，G-S 迭代法收敛？ 10．设三阶方程组 中， Ax b = ， ，写出用 SOR 迭代法求解的迭代公式，并取 10 1 0 1 10 2 0 2 10 A ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎟ =− − ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 9 7 6 b ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 0=0 ，ω =1.3，求出方程组的解. 11．设 A 是对称正定矩阵，从方程组 的近似解出发，依次沿直线 Ax b = x x te = +k i ，i n = 1, 2, , L 求二次泛函 ( ) 2 T H x T T = − x A x bx 的极小点，验证这样的迭代过程就是 G-S 迭代法. 12．设 A 是 n 阶对称正定矩阵，{ } 是 A-共轭向量组. 证明： pi ( 0,1, , 1) i n = − L 1 1 0 T n i i T i i i p p A p Ap − − = = ∑