武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第八章 一阶常微分方程初值问题的数值方法（8-1）单步法

阶常微分方程初值问题的数值方法 单步法 武汉大学数学与统计学院

一阶常微分方程初值问题的数值方法 ------单步法 武汉大学数学与统计学院

阶常微分方程初值问题的一般形式是 y=f( x,D),a<x<b lv(a)=y D={(x,y)a≤x≤b, cssd}

一阶常微分方程初值问题的一般形式是: 0 ( , ), (1) ( ) {( , ) , } y f x y a x b y a y D x y a x b c y d   =     = =    

称fxy)在区域D上对y满足 Lipschitz 条件是指 彐L>OS.t f(x,yi)-f(x,y2sLly-y2L, Vx∈[a,b],y1,y2∈[c,d

称f(x,y)在区域D上对y满足Lipschitz 条件是指: 1 2 1 2 1 2 0 . . ( , ) ( , ) , [ , ], , [ , ] L s t f x y f x y L y y x a b y y c d   −  −   

利用 Picard逼近容易证明 Th若f(x2y)在区域D上连续, 且对y满足 Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[ab]上存在唯 的连续可微解y

• 利用Picard逼近容易证明: Th1 若f(x,y)在区域D上连续, 且对y满足Lipschitz条件,则初 值问题(1)在[a,b]上存在唯一 的连续可微解y

利用 Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: 72设f(x,y)在D上连续,且对y满足 Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y′=f(x,y),a(x<b y a-s 的解,则有 yv(x;$)-y(x,S2)≤ex°|s-s

利用Gronwall不等式易证解连续依 赖于初值条件: ( ) 1 2 1 2 2 ( , ) ( ; ) ( ; ) . L x a Th f x y D y x s y x s e s s −     −  − 设 在 上连续,且对y满足Lipschitz 条件,若y(x;s)是初值问题 y =f(x,y),a<x<b y(a)=s 的解,则有

Eue方法 a=x0<x1<x2<…<x1<xN=b, b-a x;=xo+ jh, h 2.,N. =y(x) yH=y+hf(x,y1)=Q,…,N

一 . Euler方法 0 0 1 ( ), ( , ), 0,1, , 1 i i i i y y x y y hf x y i N +  =  = + = −  0 1 2 1 0 , , , 1,2, , . N N j a x x x x x b b a x x jh h j N N =      = − − = + = =

局部截断误差 对于数值方法 1+1=y+hp(x,y,h), 局部截断误差定义为: ei+1=y(x+1)-[y(x)+hp(x,y(x),h)

局部截断误差 1 1 ( , , ), ( ) [ ( ) ( , ( ), )] i i i i i i i i y y h x y h y x y x h x y x h   + + = + i+1 = − + 对于数值方法 局部截断误差定义为: e

Eue方法的局部截断误差 y(x+1)=y(x)+hy(x)+h2y"(), X<:<x i+15 y(id=y()+hf(i,y (xi))+o(h) 1+ O(h2)

Euler方法的局部截断误差 2 1 1 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ), 2 , ( ) ( ) ( , ( )) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i y x y x hy x h y x x y x y x hf x y x O h e O h   + + + + = + +      = + +  =

二.改进的Eue方法 因为y(x1)=y(x)+「"f(x,y(x)dh x h ≈[f(x1,y(x)+f(x1+1,y(x1+1)] +1=y+h f(, y) 得到{y+=y+[f(x,y)+f(x 2 i+15i+1 i=0.1∴N-1

二.改进的Euler方法 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ), [ ( , ) ( , ), 2 0,1, , 1 i i x i i x i i i i i i i i i i i i i i y x y x f x y x dx h f x y x f x y x y y hf x y h y y f x y f x y i N + + + + + + + + = +  +  = +    = + +   = −  因为  得到

改进的 Euler方法的局部截断误差 f(r,y) y=f+fy=f+f f y(x)=y(x)+bf(x1,y(x)+。[(x,y(x) +f(,,y(,)f(x,,y(x))+o(h)

改进的Euler方法的局部截断误差 2 1 3 ( , ) ( ) ( ) ( , ( )) [ ( , ( )) 2 ( , ( )) ( , ( ))] ( ) x y x y i i i i x i i y i i i i y f x y y f f y f f f h y x y x hf x y x f x y x f x y x f x y x O h +  =  = + = +    = + + + +