武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第八章 常微分方程数值解

常微分方程数值解 1将下列方程化为一阶方程组 1y(0)=1y(0)=1 y-2xy+2y=x Inx (1)=1,y(1)=0, 6y'y (3){y()=1,y(0)=-1,y(0)=2 2用 Euler法解初值问题 y=ax+b 证明:其截断误差 y(x)(y)=2 这里x,=my,是E山er法的近似解,而有y(x)=1a2+bx为原初值问题的精确解 3证明定理8.1.3 y+y=0 4用梯形法解初值问题 yD)≈1证明:其近似解y-2+h),n=012A并证明当 h→0时,它收敛于原问题的精确解y=e 5利用 Taylor展开的方法推导 Adams外插四步2的计算公式和 Adams内插三步法的 计算公式及相应的误差公式 6证明隐式 Euler法(向后 Euler法)是一阶的 7证明对于任何参数a,下列格式是二阶的: yu+=y,+-(K,+k,) k,=hf(x,y) k,=hf(r,+(1-a)h,y,+(1-a)k,) 8证明由ym=y+4f(x,y)+2f(xm1,y)+hf(xn,y)确定的隐式单步法的阶为3

常微分方程数值解 1 将下列方程化为一阶方程组 (1) ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ − ′ =+ ;1)0(,1)0( 034 yy yyy (2) ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′′ − ′ =+ ;0)1(,1)1( 22 2 3 yy Inxxyyxyx (3) ⎩ ⎨ ⎧ = ′ −= ′′ = ′′′ = ′ ;2)0(,1)0(,1)0( 6 2 yyy yyy 2 用 Euler 法解初值问题 证明：其截断误差 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ += y 0)0( baxy y ( )- n x 2 2 1 )( anhyn = 这里 是 n = , ynhx n Euler 法的近似解，而有 y(x)= + bxax 2 2 1 为原初值问题的精确解 3 证明定理 8.1.3 4 用梯形法解初值问题 证明：其近似解 ⎩ ⎨ ⎧ = ′ =+ 1)0( 0 y yy ,2,1,0,) Λ 2 2 ( = + − = n h h y n n 并证明当 h → 0时，它收敛于原问题的精确解 x ey − = 5 利用 Taylor 展开的方法推导 Adams 外插四步 2 的计算公式和 Adams 内插三步法的 计算公式及相应的误差公式 6 证明隐式 Euler 法（向后 Euler 法）是一阶的 7 证明对于任何参数α ，下列格式是二阶的： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −+−+= ++= = + ++= ))1(,)1(( ),( ),( )( 2 1 3 1 2 1 1 1 31 kyhxhfk kyhxhfk yxhfk kkyy n n n n nn n n α α αα 8 证明 由 )],(),(2),(4[ 6 1 n 1 n nn nn 11 nn += + + yxhfyxfyxfhyy + ++ 确定的隐式单步法的阶为 3