武汉大学信息与计算科学系：《数值分析》第六章 习题（部分）

第6章曲线拟合 习题 1设n阶矩阵p满足p2=p,p=p(这时,称p为幂等矩阵),R(p)和N(p)分别表示 p的像子空间和核子空间,证明 (1)R(-p)是R(p)的正交补子空间 (2)对任意非零向量x∈R",有12=|xl2+k-p) 2已知(x,yki=1,2,34)的观测值为 x|1234 1249 用最小二乘法求出这些数据拟合的二次曲线 f(x)=b+bx+b2x2。 3在H2意义下,构造出下列数据拟合的曲线g(x)=a+ae'+ae 67516.241.3 4设非零向量x=(x1,x2,A,x)。又设c 证明 +0xMx 5设A是有标准正交列的mxn阶长方阵(m≥n),证明:A=A,并导出使-A2达 到最小二乘法的表达式。 6设A∈Rm,X∈R"且XX=1,证明:使Ax-MM为最小的矩阵M∈R由 M=XAX给出

第 6 章 曲线拟合 习题 1 设 阶矩阵 满足 （这时，称 为幂等矩阵）， 和 分别表示 的像子空间和核子空间，证明： n p pppp T , ==2 p pR )( pN )( p （1） 是 的正交补子空间； − pIR )( pR )( （2）对任意非零向量 ，有 n ∈ Rx 2 2 2 2 2 2 −+= )( xpIpxx 。 2 已知( )ii iyx = )4,3,2,1(, 的观测值为 9421 4321 i i y x 用最小二乘法求出这些数据拟合的二次曲线 )( ++= 210 xbxbbxf 2 。 3 在 2 ⋅ 意义下，构造出下列数据拟合的曲线 x x eaeaaxg − 10 ++= 2 )( 3.412.165.76 3210 i i y x 。 4 设非零向量 21 Λ= xxxx n ),,,( T 。又设 2 2 2 1 1 xx x c + = ， 2 2 2 1 2 xx x s + = 证明： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − I cs sc ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = n x x xx x Μ 3 2 2 2 1 0 。 5 设 A 是有标准正交列的 阶长方阵 ，证明： 并导出使 × nm ≥ nm )( , T = AA+ 2 2 − Axb 达 到最小二乘法的表达式。 6 设 ×nn , ∈∈ RXRA ×rn 且 T = IXX r ，证明：使 F AX XM − 为最小的矩阵 rr M R × ∈ 由 M X AX T = 给出