中国科学技术大学：《数理方程》课程教学资源（讲稿）重要的傅里叶变换对

数理方程经典问题专题整理 重要的傅里叶变换对 积分变换是一种常用的求解数理方程的方法，其核心思想是通过积分变换将偏微分 方程转化为常微分方程从而求解。积分变换法的流程可以总结为：利用积分变换的性质 将偏微分方程转化为常微分方程，求解像函数满足的常微分方程得到像函数，反变换得 到原问题的解。其中变换过程可能会涉及复杂的运算，一般情况下，对于傅里叶变换和 拉普拉斯变换，可能会需要用到留数定理求解积分。留数定理虽然有着强大的能力，但 是有时候围道的构造是有一定难度的。对于本文提到的这类重要的函数，在教材上有介 绍如何构造围道。这里介绍一种相对简单的想法，更容易理解和记忆这一重要的傅里叶 变换对。 求解fe)=e号的傅里叶变换。 解：记f(x)的傅里叶变换为 FLf(e〗=F(A) 对fz)求导可得 f'(x)=-x·f(x) 由傅里叶变换的性质可知 Ff'(x】=iAF() F[-xf(x刃=-iF(A) 代入上式可得 iXF(A)=-iF'(A) 整理可得 ∫F()+AF)=0 f'()+xfe)=0 由f'(e)+xf(r)=0有解f(x)=e号可知，F()有形如 F(A)=ke号 1

2020 春数理方程 08 班 数理方程经典问题专题整理 重要的傅里叶变换对 积分变换是一种常用的求解数理方程的方法，其核心思想是通过积分变换将偏微分 方程转化为常微分方程从而求解。积分变换法的流程可以总结为：利用积分变换的性质 将偏微分方程转化为常微分方程，求解像函数满足的常微分方程得到像函数，反变换得 到原问题的解。其中变换过程可能会涉及复杂的运算，一般情况下，对于傅里叶变换和 拉普拉斯变换，可能会需要用到留数定理求解积分。留数定理虽然有着强大的能力，但 是有时候围道的构造是有一定难度的。对于本文提到的这类重要的函数，在教材上有介 绍如何构造围道。这里介绍一种相对简单的想法，更容易理解和记忆这一重要的傅里叶 变换对。 求解 f(x) = e − x 2 2 的傅里叶变换。 解：记 f(x) 的傅里叶变换为 F[f(x)] = F(λ) 对 f(x) 求导可得 f ′ (x) = −x · f(x) 由傅里叶变换的性质可知 F [f ′ (x)] = iλF(λ) F[−xf(x)] = −iF′ (λ) 代入上式可得 iλF(λ) = −iF′ (λ) 整理可得 { F ′ (λ) + λF(λ) = 0 f ′ (x) + xf(x) = 0 由 f ′ (x) + xf(x) = 0 有解 f(x) = e − x 2 2 可知，F(λ) 有形如 F(λ) = k · e − λ 2 2 1

的解.又由 F(0)-f(eyd-2 可知，k=√2元.所以 F(A)=V2me-号 般地，对于 g回)=ea2=ea>0 有傅里叶变换公式 F鬥-v s 一般地，使用留数定理求解积分时，围道的构造没有固定的方法，需要根据问题进 行分析，往往难度较大。对于这类特殊的函数，存在这样一种简洁的方法进行拉普拉斯 变换求解。这类函数也是一类重要的函数，在使用积分变换法的时候可能会用到，所以 以专题形式特别分享这样一种求解思路。 2020春数理方

2020 春数理方程 08 班 的解. 又由 F(0) = ∫ +∞ −∞ f(x)dx = √ 2π 可知，k = √ 2π. 所以 F(λ) = √ 2πe− λ 2 2 一般地，对于 g(x) = e −ax2 = e − ( √ 2ax) 2 2 (a > 0) 有傅里叶变换公式 F [ e −ax2 ] = √ 2π e − ( √λ 2a )2 2 √ 2a = √ π a e − λ 2 4a2 一般地，使用留数定理求解积分时，围道的构造没有固定的方法，需要根据问题进 行分析，往往难度较大。对于这类特殊的函数，存在这样一种简洁的方法进行拉普拉斯 变换求解。这类函数也是一类重要的函数，在使用积分变换法的时候可能会用到，所以 以专题形式特别分享这样一种求解思路。 2