中国科学技术大学：《数理方程》课程教学资源（讲稿）重要的物理学公式定律

数理方程经典问题专题整理 重要的物理学定律 数学物理方程主要研究物理问题的数学模型建立以及对应的求解.其中数学模型建 立的过程可以总结为：选取合适的微元，根据物理学定律进行分析建立关系式，利用小 量近似方法和数量关系、几何关系整理关系式建立方程，根据物理意义书写定解条件。 建立过程中一个重要的依据是物理学定律，这一专题重点总结这门课程中涉及的重要物 理学定律 班 1.牛顿第二定律F=m·a 0 2.傅里叶热传导定律 在无穷小时间段（化，t+d)内，沿点M处的面积元素dS的法向n流过dS 的热量与温度的下降率成正比，即 a0=e04s 这里，k(红，4，)称为物体在M点处的热传导系数，它应取正值：负号表示热流指 向温度下降的方向.上式可以写成 202 dQ=-k(z,,z)Vu·ndSdt =q·ndSdt 这里，n是法向方向的单位向量；q=-k红，，)7u,称为在点M处的热流密度 向量，其方向与温度梯度的方向相反。 3.牛顿冷却定律 从物体流向外部介质的热流密度？跟物体与介质在表面处的温度差成正比， q=h(u-0) 式中，u和B=9(t,x,y,z)分别表示物体和介质在表面处的温度h=h(红，头，)称 为热交换系数，它也取正值。一般对应第三类边界条件 (+加儿=m 1

2020 春数理方程 08 班 数理方程经典问题专题整理 重要的物理学定律 数学物理方程主要研究物理问题的数学模型建立以及对应的求解. 其中数学模型建 立的过程可以总结为：选取合适的微元，根据物理学定律进行分析建立关系式，利用小 量近似方法和数量关系、几何关系整理关系式建立方程，根据物理意义书写定解条件. 建立过程中一个重要的依据是物理学定律，这一专题重点总结这门课程中涉及的重要物 理学定律. 1. 牛顿第二定律 F = m · a 2. 傅里叶热传导定律 在无穷小时间段 (t, t + dt) 内, 沿点 M 处的面积元素 dS 的法向 n 流过 dS 的热量与温度的下降率成正比，即 dQ = −k(x, y, z) ∂u ∂ndSdt 这里, k(x, y, z) 称为物体在 M 点处的热传导系数, 它应取正值; 负号表示热流指 向温度下降的方向. 上式可以写成 dQ = −k(x, y, z)∇u · ndSdt = q · ndSdt 这里, n 是法向方向的单位向量 ; q = −k(x, y, z)∇u, 称为在点 M 处的热流密度 向量，其方向与温度梯度的方向相反。 3. 牛顿冷却定律 从物体流向外部介质的热流密度 q 跟物体与介质在表面处的温度差成正比, 即 q = h(u − θ) 式中, u 和 θ = θ(t, x, y, z) 分别表示物体和介质在表面处的温度 h = h(x, y, z) 称 为热交换系数，它也取正值. 一般对应第三类边界条件  k ∂u ∂n + hu    s = hθ 1

4.扩散定律 当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。粒子流强度g(即，单位 时间内流过单位面积的粒子数)与浓度的下降率成正比。即 q=-DVu 其中，D为扩散系数，负号表浓度减小的方向。写成分量式即 =-D器=-0瑞%=-贵 5.胡克定律 常见的表达形式是关于弹性力和弹性体伸长之间的线性关系，具体描述为： 在弹性限度内，弹性体受到的弹力和其形变量成正比，即 f=-kz 其中，k为弹性体的劲度系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。 另一种表述是：在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，其比例系数称为 杨氏模量E.其中应力指单位面积上所受到的力F/A,应变指在外力作用下的相 对形变△L/L.公式表达为 E=(F.L)/(A.△L) 6.麦克斯韦方程组 假设空间中没有电荷，卫和H分别表示电场强度和磁场强度 (VxE=-驶 V×H=aE+e盟 7.(eE)=0 V(H)=0 总结：在数理方程的建立过程中主要依据是物理学定律，在这门课程中我们会遇到的 主要是这些物理学定律，对应我们研究的三类方程.其中麦克斯韦方程组并不属于常见 类型，但由于其重要性，以及通过这样一个自由电磁波的方程在一定条件下作近似可 以得到波动方程或者热传导方程这样两类重要的方程，所以在这里列出并希望读者注 意这一问题.在熟练掌握这些重要的物理学定律并理解微元法的基础上，就可以顺利地 完成这门课程中的数理方程的建立过程

2020 春数理方程 08 班 4. 扩散定律 当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。粒子流强度 q( 即, 单位 时间内流过单位面积的粒子数) 与浓度的下降率成正比。即 q = −D∇u 其中,D 为扩散系数, 负号表浓度减小的方向。写成分量式即 qx = −D ∂u ∂x, qy = −D ∂u ∂y , qz = −D ∂u ∂z 5. 胡克定律 常见的表达形式是关于弹性力和弹性体伸长之间的线性关系，具体描述为： 在弹性限度内，弹性体受到的弹力和其形变量成正比，即 f = −kx 其中，k 为弹性体的劲度系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。 另一种表述是：在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，其比例系数称为 杨氏模量 E. 其中应力指单位面积上所受到的力 F/A, 应变指在外力作用下的相 对形变 ∆L/L. 公式表达为 E = (F · L)/(A · ∆L) 6. 麦克斯韦方程组 假设空间中没有电荷，E 和 H 分别表示电场强度和磁场强度.    ∇ × E = −µ ∂H ∂t ∇ × H = σE + ε ∂E ∂t ∇ · (εE) = 0 ∇ · (µH) = 0 总结：在数理方程的建立过程中主要依据是物理学定律，在这门课程中我们会遇到的 主要是这些物理学定律，对应我们研究的三类方程. 其中麦克斯韦方程组并不属于常见 类型，但由于其重要性，以及通过这样一个自由电磁波的方程在一定条件下作近似可 以得到波动方程或者热传导方程这样两类重要的方程，所以在这里列出并希望读者注 意这一问题. 在熟练掌握这些重要的物理学定律并理解微元法的基础上，就可以顺利地 完成这门课程中的数理方程的建立过程. 2