中国科学技术大学：《数理方程》课程教学资源（讲稿）二阶线性常系数微分方程求解——特征根法，你到底，你到底是谁

二阶线性常系数微分方程求解 特征根法，你到底，你到底是推 ●基础工作—探寻迷宫出口 首先，我们要明确解的结构，这个思路在微分方程的求解中始终 会有应用到。（再次安利：先有意义后求量） 根据在一般的二阶线性齐次微分方程的分析中我们了解到，解的 结构是一个由两个线性无关解张成的解空间，这两个线性无关解 就是这个函数空间的一组基。 这样，我们就明确目标：找到两个线性无关的解。 ●基于目标的思考—意积自控，脉搏流动 我们要思考怎样找到这两个线性无关的解。 我们观察方程的形式，并且联想到我们熟悉一类具有特殊性质的 函数一指数函数（求导性质）。这样，我们就想，能否得到形如 ex的解。 那么，我们就把这个形式解带入方程，整理后惊奇地发现，我们 得到了一个只含有几的二次方程，那，我们就放心了。我们知道， 这个方程的解就是符合要求的入，进而带入就是微分方程的解。 ·求解过程—优雅的恶魔把问数一点一点吞没 如前所述，求解关于1的二次方程，得到符合要求的入。 根据我们对二次方程解的结构的认识，我们知道基于判别式讨论 可以得到三种不同类型的解形式。 >两个互异实根：

二阶线性常系数微分方程求解 特征根法，你到底，你到底是谁 ⚫ 基础工作——探寻迷宫出口 首先，我们要明确解的结构，这个思路在微分方程的求解中始终 会有应用到。（再次安利：先有意义后求量） 根据在一般的二阶线性齐次微分方程的分析中我们了解到，解的 结构是一个由两个线性无关解张成的解空间，这两个线性无关解 就是这个函数空间的一组基。 这样，我们就明确目标：找到两个线性无关的解。 ⚫ 基于目标的思考——意识自控，脉搏流动 我们要思考怎样找到这两个线性无关的解。 我们观察方程的形式，并且联想到我们熟悉一类具有特殊性质的 函数——指数函数（求导性质）。这样，我们就想，能否得到形如 ⅇ 𝜆𝑥的解。 那么，我们就把这个形式解带入方程，整理后惊奇地发现，我们 得到了一个只含有𝜆的二次方程，那，我们就放心了。我们知道， 这个方程的解就是符合要求的𝜆，进而带入ⅇ 𝜆𝑥就是微分方程的解。 ⚫ 求解过程——优雅的恶魔把问题一点一点吞没 如前所述，求解关于𝜆的二次方程，得到符合要求的𝜆。 根据我们对二次方程解的结构的认识，我们知道基于判别式讨论 可以得到三种不同类型的解形式。 ➢ 两个互异实根：

这个比较友好，我们直接得到了两个不同的入，记作入1和几2。 则带入形式解ex，得到了我们期望的两个线性无关解ex和 e2x。任务完成！ 在这里呢，回答一下之前有些同学捉出的问题，即关于双曲正 余弦形式的解。 我们根据上述分析过程知道，我们其实目标就是找到两个线性 无关的解，并且我们知道上面得到的两个解是线性无关且满足 方程，那么，我们也可以对二者进行线性组合，当入1和入2互为 相反数的时候，这样做也可以得到线性无关的满足方程的解 双曲正余弦，那么，这种解也是可以的。 具体选择哪种，从原则上讲没有本质区别。如果判断出解的奇 偶性，可以选择对应的双曲正余弦，或者就简单一些，直接选 择指数形式解。 >双重根 这时候我们只得到了一个入。那，目标还没完成，任重道远。 不过我们根据在一般二阶方程的分析我们知道，存在形如 f(x)ex的解可以和它一起，并肩看潮来潮去。 我们把f(x)x代入方程得到一个关于f(x)的方程，求解得到 一个特解f(x)=x。那么，这组解就是ex和xex。 >共轭复根 这时候，我们得到两个共轭复根，记作入1和几2。则带入形式解 ex,得到了我们期望的两个线性无关解e11x和e2x。这样其实

这个比较友好，我们直接得到了两个不同的𝜆，记作𝜆1和𝜆2。 则带入形式解ⅇ 𝜆𝑥，得到了我们期望的两个线性无关解ⅇ 𝜆1𝑥和 ⅇ 𝜆2𝑥。任务完成！ 在这里呢，回答一下之前有些同学提出的问题，即关于双曲正 余弦形式的解。 我们根据上述分析过程知道，我们其实目标就是找到两个线性 无关的解，并且我们知道上面得到的两个解是线性无关且满足 方程，那么，我们也可以对二者进行线性组合，当𝜆1和𝜆2互为 相反数的时候，这样做也可以得到线性无关的满足方程的解— —双曲正余弦，那么，这种解也是可以的。 具体选择哪种，从原则上讲没有本质区别。如果判断出解的奇 偶性，可以选择对应的双曲正余弦，或者就简单一些，直接选 择指数形式解。 ➢ 双重根 这时候我们只得到了一个𝜆。那，目标还没完成，任重道远。 不过我们根据在一般二阶方程的分析我们知道，存在形如 𝑓(𝑥)ⅇ 𝜆𝑥的解可以和它一起，并肩看潮来潮去。 我们把𝑓(𝑥)ⅇ 𝜆𝑥代入方程得到一个关于𝑓(𝑥)的方程，求解得到 一个特解𝑓(𝑥) = 𝑥。那么，这组解就是ⅇ 𝜆𝑥和𝑥ⅇ 𝜆𝑥。 ➢ 共轭复根 这时候，我们得到两个共轭复根，记作𝜆1和𝜆2。则带入形式解 ⅇ 𝜆𝑥，得到了我们期望的两个线性无关解ⅇ 𝜆1𝑥和ⅇ 𝜆2𝑥。这样其实

是可以的，只不过我们习惯上希望得到实变函数解，所以我们 根据欧拉公式进行简单操作，得到实变函数解：eax cosBxi和 eax sinBx. 这样，任务完成。 ●结语—我见过天使，遇过魔鬼，特征根法，我终于看清 你是谁 总的来讲，我对于特征根法的认识就如前所述。 解法的根本思想是，基于解的结构分析，联系我们熟悉的具有特 殊性质的指数函数，然后把形式解带入方程，发现我们期望的形 式解可以进一步得到真正的符合要求的解。 然后我们把这个思想封装成一个黑盒子，输入是根据方程写出的 特征方程，输出就是解中唯一的参变量入。这样，我们就完成了求 解

是可以的，只不过我们习惯上希望得到实变函数解，所以我们 根据欧拉公式进行简单操作，得到实变函数解：ⅇ 𝛼𝑥 cos 𝛽𝑥和 ⅇ 𝛼𝑥 sin 𝛽𝑥。 这样，任务完成。 ⚫ 结语——我见过天使，遇过魔鬼，特征根法，我终于看清 你是谁 总的来讲，我对于特征根法的认识就如前所述。 解法的根本思想是，基于解的结构分析，联系我们熟悉的具有特 殊性质的指数函数，然后把形式解带入方程，发现我们期望的形 式解可以进一步得到真正的符合要求的解。 然后我们把这个思想封装成一个黑盒子，输入是根据方程写出的 特征方程，输出就是解中唯一的参变量𝜆。这样，我们就完成了求 解