中国科学技术大学：《计算方法》课程教学资源（课件讲稿）第七章 计算矩阵的特征值与特征向量

第七章计算矩阵的特征值与 特征向量 1

1 第七章 计算矩阵的特征值与 特征向量

特征值与特征向量 在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等 ■定义：设有n阶矩阵A,若有数2及非零向量V满足方 程Av=v,则称几为A的特征值，V为属于特征值2的特 征向量 ■线性代数中特征值和特征向量的计算步骤： ●计算矩阵的特征多项式：det(2I-A)=”+…+(-l)”det(A) ●求解齐次线性方程组的解空间：(A-)V=0,i=1,2…,n ■因雅：求解高次多项式的根

¡ 在实际工程计算中，经常会遇到特征值和特征向量的 计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题； 物理学中的各种临界值等 ¡ 定义：设有 阶矩阵 ，若有数 及非零向量 满足方 程 ，则称 为 的特征值， 为属于特征值 的特 征向量 ¡ 线性代数中特征值和特征向量的计算步骤： l 计算矩阵的特征多项式： l 求解齐次线性方程组的解空间： ¡ 困难：求解高次多项式的根 2 n A  v Av  v  A v  det( ) ( 1) det( ) n n I  A     A ( ) , 1,2, , i A   I v  0 i   n

幂法 ■在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ■ 幂法：计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ■要求：矩阵A具有完备的特征向量系，即A有n个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3

¡ 在实际问题中，矩阵按模最大的特征值往往起重要的 作用，譬如矩阵的谱半径决定了迭代矩阵是否收敛 ¡ 幂法：计算按模最大特征值及相应特征向量的数值方 法 ¡ 要求：矩阵 具有完备的特征向量系，即 有 个线性 无关的特征向量。在实际问题中，常遇到的实对称矩 阵或具有 个互不相同特征值的矩阵就具有这种性质 3 A A n n

景法 958 ■设矩阵A的特征值和特征向量如下： 特征值：2≥2≥…≥2， A是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 特征向量：V1,V2…,V。 累法可以求人，V1 ■基本思想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ■ 取初值x0),做迭代 x(+D)=Ax(A) →xk+=Axo,xo=ay,+a2Y2+…+a,yn →xk+D=A(aY1+2V2+…+Vn) =AV+A"v2+..+aA Vn =v1+a3V2+…+ankn Vn 4

¡ 设矩阵 的特征值和特征向量如下： 特征值： 特征向量： 幂法可以求 ¡ 基本思想：不断利用矩阵向量乘法，分析得到的向量 序列，计算出矩阵按模最大特征值及相应特征向量 ¡ 取初值 ，做迭代 4 A 1  2   n 1 2 , , , n v v  v 1 1  , v ( 1) ( ) ( 1) (0) (0) 1 1 2 2 ( 1) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 , ( ) k k k k n n k k n n k k k n n k k k n n n                                       x Ax x A x x v v v x A v v v A v A v A v v v v     (0) x 是非亏损的，即特征值的几 何重数等于代数重数 A

幂法 ■情形1：若2>2≥…≥2，则有 a候 a,≠0 ∫x≈*(ay) x+w≈入(aV)' 入≈x+)/x) V1≈xk+H) 收敛速度取决于： 1z1 5

¡ 情形1：若 ，则有 收敛速度取决于： 5 1  2  n     ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 0 , / k k k k n n n k k k k k k k k                                                       x v v v x v x v x x v x  21 | | | | 

景法 ■情形2：若2=2>2≥…≥nb=-元 u-a经】 a≠0→x)≈2(ay,+(-)ay,,k→0 ■其它情形… 6

¡ 情形2：若 ¡ 其它情形…… 6 1 2 3 1 2       n ,         ( ) 1 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 1 2 2 (2 2) (2 ) 2 ( 1) ( ) 1 1 1 (2 1) (2 1) 2 ( 1) ( ) 1 2 1 1 0 1 , / , / k k k k n n n k k k k k k k k k k k k                                                           x v v v x v v x x v x x x x v x x 

景法 ■在幂法中，我们构造的序列 可以看出，当k→+00 x 0,21 ■ 为避免x)分量过大（上溢）或过小（下滋），在实际 运算中采用规范运算： x)=Ay) y=x/小x 7

¡ 在幂法中，我们构造的序列 可以看出，当 ¡ 为避免 分量过大（上溢）或过小（下溢），在实际 运算中采用规范运算： 7 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 k k k k n n n                                 x v v  v ( ) 1 1 0 , 1 , 1 k          x k   ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) / k k k k k            x Ay y x x (k ) x

景法 ■不难发现： y Ayu/A'y) lyl =1 ■从而有 y()=A'yo)A'y 0V1+ y(k) 8

¡ 不难发现： ¡ 从而有 8   ( ) ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) / / 1 k k k k k k            y Ay x A y x x y   ( ) (0) (0) / k k k  y  A y A y 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 1 2 2 1 1 k k k n n n k k k k n n n                                                                  v v v y v v v 

幂法 情形1：若2>≥…≥2，则有 元0，则{y}收敛，元≈x+儿，Y,≈y B)若元<0，则{y2,y2+}分别收敛于互为反号的向 量，≈-小x+L,y,y 9

¡ 情形1：若 ，则有 A) 若 ，则 收敛， B) 若 ，则 分别收敛于互为反号的向 量， 9 1  2  n     1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 , 0 , 0 k k k k                         v v v y y v v v ( 1) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) 1 1 k k k k k            x Ay y x y 1  0 ( ) { } k y ( 1) ( ) 1 1 , k k     x v  y 1  0 (2 ) (2 1) { }{ } k k y ，y ( 1) ( ) 1 1 , k k      x v  y

景法 1958》 ■情形2：若2=>2≥…≥几，2=-入2，则有 2aY,+(-1)y2+…+ y(k)= {y2}{y2-}分别收敛于两个向量，且不是互为反号 令x+=Ax，则2≈Vx/y-,2=-元 [y,≈x+x V2≈x+-x) ■其它情形… 10

¡ 情形2：若 ，则有 分别收敛于两个向量，且不是互为反号 令 ，则 ¡ 其它情形…… 10 1 2 3 1 2       n ,       1 1 1 2 2 1 ( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 k k k n n n k k k k n n n                                                    v v v y v v v       (2 ) (2 1) , k k y y ( 1) ( 1) 1 2 1 / , k k       x y   ( 1) ( ) 1 1 ( 1) ( ) 2 1 k k k k            v x x v x x (k1) (k ) x  Ax