上饶师范学院：《高等代数》课程教学资源（电子教案）第五章 二次型

第五章二次型 §1二次型及其矩阵表示 教学目的：让学生掌握二次型理论中的非退化线性替换，二次型的矩阵；经 非退化线性替换后两个矩阵之间是合同的， 教学内容： (1)复习n元m次齐次多项式，仅当m=2的时候f(x1,x2,xn)称为n 元二次型，且规定a两=a记为f(x,x,…xn卢XAX (2)由x,,…到y,y2,y的称为非退化的线性替换，如果系数 行列式c,≠0，记为X=CY （3》f(x10-x上2a,其中 A=(aj)nxn 称为二次型f(x1,X2,xm)的矩阵，自然二次型矩阵都是对称的 (4)X=CY是非退化线性替换，f(x1,x2,…xn)经X=CY替换之后得 到一个新的二次型gy1,y2.…y),则它的二次型矩阵B就有 B-CAC 我们称AB是合同的 (5)由(4)B=CAC,合同关系是等价关系 (6) 如果令 Y=CIX 则把得到的二次型还原。 布置作业：P232.1.2

第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 教学目的:让学生掌握二次型理论中的非退化线性替换;二次型的矩阵;经 非退化线性替换后两个矩阵之间是合同的. 教学内容: （1） 复习 n 元 m 次齐次多项式,仅当 m=2 的时候 f ( x1, x2, …… xn )称为 n 元二次型，且规定 aij = aji,记为 f ( x1, x2, …… xn )=X′AX （2） 由 x1, x2, …… xn 到 y1, y2, …… yn 的称为非退化的线性替换,如果系数 行列式 ij c ≠0,记为 X=CY. （3） f ( x1, x2, …… xn )= i j n i n j ij a x x =1 =1 其中 A=(aij)n×n 称为二次型 f ( x1, x2, …… xn )的矩阵,自然二次型矩阵都是对称的 （4） X=CY 是非退化线性替换, f ( x1, x2, …… xn )经 X=CY 替换之后得 到一个新的二次型 g(y1, y2, …… yn ),则它的二次型矩阵 B 就有 B=C′AC 我们称 A,B 是合同的 （5） 由(4) B=C′AC,合同关系是等价关系 （6） 如果令 Y=C-1X 则把得到的二次型还原。 布置作业：P232.1.2

ch5$2二次型的标准型 数学目的：用非退化的线性替换化简二次型成平方和的形式 教学手段：采用初等数学的方法中的配方法施行化简 数学内容：对变量个数n作归纳法 理论依据：数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化变 成平方和的型式 当n=1时，f(x1)=a11x12,已经是平方和了， 假定对n-1元的二次型，定理的结论成立考虑的n元的情况： 1.a中至少有一个不为零，不妨设a11不等于零 2.所有的ao.但是至少有一个a1不等于零(G>1) 不失普遍性.设a12不等于零 3.a11=0,a12=0,…a1n=0 结论成立. Ⅱ理论依据：在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵 :理论依据：对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C 使C·AC成对角矩阵 布置作业：P233.3.4.5

ch5 §2 二次型的标准型 数学目的:用非退化的线性替换化简二次型成平方和的形式 教学手段:采用初等数学的方法中的配方法施行化简 数学内容:对变量个数 n 作归纳法 [I]理论依据:数域p 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化变 成平方和的型式 当 n=1 时, f ( x1 ) =a11x1 2 ,已经是平方和了, 假定对 n-1 元的二次型,定理的结论成立.考虑的 n 元的情况: 1.aii中至少有一个不为零,不妨设 a11 不等于零 2.所有的 aii=0,但是至少有一个 a1j 不等于零(j>1) 不失普遍性.设 a12 不等于零 3. a11=0,a12=0, ……,a1n=0 结论成立. II.理论依据:在数域 p 上,任意一个对称矩阵都合同于一个对角阵. III:理论依据:对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 C′AC 成对角矩阵 布置作业: P233. 3. 4 . 5

ch53唯一性 数学目的：让学生掌握在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所 作的非退化线性替换有关 教学手段：采用非退化线性替换 教学内容 I在复数域上来考虑 f(X1,X,…Xn)）尸y21+y22++y2n 此式称为复二次型f(x,为，…x)的规范形 Ⅱ.在复数域上的对称矩阵合同于一个形式 68 的对角阵，从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等 Ⅲ.在实数上来考虑 f(X1,X2,…n）Fy21+y22++y2p-yp+12.…y2 此式称为实二次型f(x1,2,…x)的规范形 四.惯性定理任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以 变成规范形，且规范形是唯一的. 五p称为(fx,2,…Xn)的正惯性指数，负平方项的个数r-P称为(fX,,…Xn) 的负惯性指数，它们的差p-(-P)=2P-r称为f(x1,x2,…n)的符号差 布置作业：p233.5.6.7(1).8(1)

ch5 §3 唯一性 数学目的:让学生掌握在一般数域内,二次型的标准形不是唯一的,而与所 作的非退化线性替换有关. 教学手段: 采用非退化线性替换 教学内容: I.在复数域上来 考虑: f ( x1, x2, …… xn )= y2 1+y 2 2 +……+ y 2 n 此式称为复二次型 f ( x1, x2, …… xn )的规范形 II . 在复数域上的对称矩阵合同于一个形式         0 0 Ir 0 的对角阵,从而有,两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等. III.在实数上来考虑: f ( x1, x2, …… xn )= y2 1+y 2 2 +……+ y 2 p-yp+12 -…-yr 2 此式称为实二次型 f ( x1, x2, …… xn )的规范形 四.惯性定理.任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以 变成规范形,且规范形是唯一的. 五.p 称为(f x1, x2, …… xn )的正惯性指数,负平方项的个数 r-P 称为(f x1, x2, …… xn ) 的负惯性指数,它们的差 p-(r-P)=2P-r 称为 f ( x1, x2, …… xn )的符号差 布置作业:p233. 5. 6.7（1）.8（1）

ch5§4正定二次型 数学目的：正定二次型的特殊意义以及常用的判别方风 教学方法一组不全为零的实数(c1C2,c)写成的量形式，以及使用的向量与 矩阵的乘积的办法 教学内容： L.实二次型f(X1,3,…Xn)是正定的分有一组不全为零的实数(c1C2,cn) 使f(c1,c2,cn）0. L.实二次f(X1,X.…Xm)是正定的分它的f(X1,为.…Xn)的正惯性指数 等于n IIL.实二次f(x1,X2,…Xm)是正定的台f(x1,X2.…Xa)的规范形为 y21+y22++y2n IV.若二次型XAX正定的 实对称矩阵A为正定的，那么二次型X·AX正定的 V.正定矩阵的行列式大于零 VI.若实二次型X·AX正定的一A的顺序主子式大于零 VIL.若实1二次型f(X1,X2…Xn)=XAX,A是实对称的 下面的条件是不等价的 (1)f(x1,X2,…X)是半正定的 (2)它的正惯性指数与秩相等 (3)有可逆矩阵C使CAC=diag(d1d2dn) (4)有实矩阵C使A=C·C (5)A所有的主子式皆大于或等于零

ch5 §4 正定二次型 数学目的: 正定二次型的特殊意义以及常用的判别方风 教学方法 一组不全为零的实数（c1,c2,…cn）写成的量形式,以及使用的向量与 矩阵的乘积的办法 教学内容: I. 实二次型 f ( x1, x2, …… xn )是正定的 有一组不全为零的实数（c1,c2,…cn） 使 f（c1,c2,…cn）>0. II. 实二次 f ( x1, x2, …… xn )是正定的它的 f ( x1, x2, …… xn )的正惯性指数 等于 n III. 实二次 f ( x1, x2, …… xn )是正定的 f ( x1, x2, …… xn )的规范形为 y 2 1+y 2 2 +……+ y 2 n IV . 若二次型 X′AX 正定的 实对称矩阵 A 为正定的,那么二次型 X′AX 正定的 V. 正定矩阵的行列式大于零 VI . 若实\二次型 X′AX 正定的A 的顺序主子式大于零 VII. 若实\二次型 f ( x1, x2, …… xn )=X′AX, A 是实对称的 下面的条件是不等价的 （1）f ( x1, x2, …… xn )是半正定的 （2）它的正惯性指数与秩相等 （3）有可逆矩阵 C 使 C′AC=diag（d1d2…dn） （4）有实矩阵 C 使 A= C′C （5）A 所有的主子式皆大于或等于零

布置作业：p233.8(1.).9.10.11.12.13.14.15.16.17 本章小结 任何一个数域P上的二次型f(x1,2,一X)经非退化线形替换X-CY 化为标准形，由于所用的非退化线形替换的不同，化成的标准形也不一样，故 二次型的标准形不是唯一的.但是作了相应的线形替换之后，文字的系数均 为1或1，谓之为二次型的规范形，特别地，若在实数域上，取一组不全为零的 实数代入到二次型中相应的文字中去，而二次型的值大于零，这样的二次型 称为正定二次型，于是正定二次型有多个判别条件，尤其是惯性定理成为本 章的一个重要定理

布置作业:p233. 8（1.）.9. 10.11.12.13.14.15.16.17 本章小结 任何一个数域 P 上的二次型 f ( x1, x2, …… xn )经非退化线形替换 X=CY 化为标准形,由于所用的非退化线形替换的不同,化成的标准形也不一样,故 二次型的标准形不是唯一的.但是作了相应的线形替换之后,文字的系数均 为 1 或-1,谓之为二次型的规范形,特别地,若在实数域上,取一组不全为零的 实数代入到二次型中相应的文字中去,而二次型的值大于零,这样的二次型 称为正定二次型,于是正定二次型 有多个判别条件,尤其是惯性定理成为本 章的一个重要定理