上饶师范学院：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子教案）第二章 离散型随机变量 2.2 多维随机变量,联合分布列和边际分布列

§2.2多维随机变量联合分布列和边际分布列 对应有一个以上的实数值如在例2.1中，对每一台出厂的电视机来说，除了一年中发生故障沙 数以外，还可以考察一年中实际工作的小数，一年中损坏的元件数等数据.一般地说每个试验 结果可以有n个数值与之对应，这时就称这种对应关系是一个n维随机变量，也称为n维随机 变量如同§2.1中所给出的一维离散型随机变量的定义，现在给出维离散型随变量的定义 定义2.2设5,52,5n是样本空间Q上的n个离散型随机变量，则称h维向量 (5i,52…,5n)是9上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量 如同数学分析中大家所熟悉的那样，从一维到多维会增添许多新的问题为了叙述和学 习的方便起见，下面者重讨论二维的离散型随机变量 设(5，n)是一个二给离散型随机变量，它们一切可能取的值为(a,b,)1,=1,2…令 P=P(=an=b).i,j=1,2,... 称(P,广=1,2…)是二维随机变量(5，n)的联合分布列如同一维时的论述，容易 证明二维联合分布列具有下面三个性质： (1)P≥0,4，j=1,2.； (2.15) o2,=t (2.16 P5=a)=2P=R. (3) (2.17) Pg-b,) 其中()(2)是显然的，现在雅(3).由联合分布列的定义及全概率公式有 P5=a,)=P5=a,)nUn=b,) -PUK-a( =∑P(5=a,)n0=b,}=∑P 同理可得 P0=b,)=∑D

§ 2.2 多维随机变量,联合分布列和边际分布列 在上一节中我们讨论了一维随机变量,已经知道所谓一维随机变量无非是随机试验的 结果和一维实数之间的某个对应关系.但在许多实际问题中,对于每一个试验结果,往往同时 对应有一个以上的实数值.如在例 2.1 中,对每一台出厂的电视机来说,除了一年中发生故障次 数以外,还可以考察一年中实际工作的小数,一年中损坏的元件数等数据.一般地说,每个试验 结果可以有 n 个数值与之对应,这时就称这种对应关系是一个 n 维随机变量,也称为 n 维随机 变量.如同§ 2.1 中所给出的一维离散型随机变量的定义,现在给出n 维离散型随变量的定义. 定义 2.2 设    n , , 1 2  是样本空间Ω上的 n 个离散型随机变量,则称 nh 维向量 (    n , , 1 2  )是Ω上的一个 n 维离散型随机变量或 n 维随机向量. 如同数学分析中大家所熟悉的那样,从一维到多维会增添许多新的问题.为了叙述和学 习的方便起见,下面着重讨论二维的离散型随机变量. 设(ξ, η)是一个二给离散型随机变量,它们一切可能取的值为 (ai ,bi ),i, j =1,2 令 Pi, j = P( = ai , = bj ),i, j = 1,2,  称( (Pi, j ;i, j = 1,2 )是二维随机变量(ξ, η)的联合分布列.如同一维时的论述,容易 证明二维联合分布列具有下面三个性质: (1) 0, , 1,2, ; Pi, j  i j =  (2.15) (2) 1; 1 1  , =  =  i j= Pi j (2.16) (3)        = = = = = = •  = •  =   j i j i j i j i i j P b P P P a P P 1 , 1 , ( ) ( )   (2.17) 其中(1).(2)是显然的,现在骓(3).由联合分布列的定义及全概率公式有               = = =  =  = ( ) ( ) ( ) 1 j j P   i P   i   b =         =  =  = ( ) ( ) 1 i i j P   a  b =   =  = =  = = 1 1 {( ) ( )} j j P  ai  bi Pij 同理可得   = = = 1 ( ) i P  bj Pij

如果记∑P,=P∑P,=P,即可得到217) 现在看一个比较简单的例子 例2.7把三个相同的球等可能地放入编号为1,23的三个盒子中，记落入1号盒子中的 球的个数为5，落入第2号盒子中球的个数为刀，则(5，)是一个二维随机变量，其中5和刀的 可能取值为0,1,2,3现在来找(5，刀)的联合分布列.由条件概率的定义易知有 P=P(5=i,n=) =P(5=i7=)P(=),0≤i+j≤3 这时显然有 =n-[0s g==n-[-0s+1s 于是 - 13到 271B-1-m0≤1+/s3 而当i+>3或+j<0时显然有 Pi=0 由前面的讨论和例2.7的计算中，都可以看出来如果知道了二维随机变量(5，)的联合分 分布列，那么这时：和刀的边际分布列即可由联合分布列求出.这件事实直观上是容易理解的， 因为5，)总体的规律性如果确定了，那么它的个别分量的规律性当然也确定了 例2.8（略）见P73 定义23设离散型随机变量5的可能取值为a,(=1,2),n的可能取值为 b,0=1,2,)如果对任意的a,b,有 P(5=a,n=b)=P(5=a,)Pn=b) (2.18) 成立，则称离散型随机变量5和n是相互独立的.在这个例子中，5取什么值和刀取什么值两

如果记 j i i ij j Pij P P P  =   =  =  = 1 1 ，即可得到（2.17） 现在看一个比较简单的例子. 例 2.7 把三个相同的球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,记落入 1 号盒子中的 球的个数为  ,落入第 2 号盒子中球的个数为  ,则(  , )是一个二维随机变量,其中  和  的 可能取值为 0,1,2,3.现在来找(  , )的联合分布列.由条件概率的定义易知有 P P( i, j) ij =  =  = = P( = i | = j) P( = j),0  i + j  3 这时显然有 ,0 3 3 2 3 3 1 ( ) 3                     = = − j j P j j j  ,0 3 2 3 1 2 1 2 3 1 ( | ) 3 3   +               −  =                  − = = = − − − i j i j i j P i j i j i j   于是 j j j ij i j j P − −                               − = 3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 = ,0 3 ! !(3 )! 3! 27 1  +  − − i j i j i j 而当 i+j>3 或 i+j<0 时显然有 Pij =0 由前面的讨论和例2.7的计算中,都可以看出来,如果知道了二维随机变量(  , )的联合分 分布列,那么这时  和  的边际分布列即可由联合分布列求出.这件事实直观上是容易理解的, 因为(  , )总体的规律性如果确定了,那么它的个别分量的规律性当然也确定了. 例 2.8 (略)见 P73 定 义 2.3 设离散型随机变量  的可能取值为 a (i =1,2), i  的可能取值为 b ( j = 1,2, ), j 如果对任意的 i a , j b ,有 ( , ) ( ) ( ) P  = ai  = bj = P  = ai P  = bj (2.18) 成立,则称离散型随机变量  和  是相互独立的.在这个例子中,  取什么值和  取什么值两

者之间确实是互不影响的，所以称它们相互独是可以理解的现在不难把独性的概念推广到多 个离散型随机变量的场合，这就是下面的定义 定义2.4设5，…，5n是n个离散型随机量，5，的可能取值为a4=1,…,mk=1,2,) 如果对于任意的一组(ak,…,ak),恒有 P5=ak,,5n=ak)=P5=a%人…P5n=ak） (2.19) 成立，则称5，…，5n是相互独立的 例2.9在n重贝努里试验中，令 ?=1若在第次试验中事作出现 l≤i≤n 0,若在第次试验中事件4不出现 则n,(1≤i≤n)的可能取值为1或0，对a,=1或0(1≤区，容易验证有 Pn=a,…,nn=an)=P(=ab…Pn=an) 成立，所以几，…，。是相互独立的随机变量

者之间确实是互不影响的,所以称它们相互独是可以理解的.现在不难把独性的概念推广到多 个离散型随机变量的场合,这就是下面的定义. 定义 2.4 设   n , , 1  是 n 个离散型随机量, i  的可能取值为 a (i =1,  ,n;k =1,2, ) ik 如果对于任意的一组( nkn a k , ,a 1 1  ),恒有 ( , , ) ( ), ( ) P 1 a1k1 n ank P 1 a1k1 P n ank n  =   = =  =   = (2.19) 成立,则称   n , , 1  是相互独立的. 例 2.9 在 n 重贝努里试验中,令    = 若在第 次试验中事件 不出现 若在第 次试验中事件 出现 ， i A i A i 0 1,  1≤i≤n, 则 i (1≤i≤n)的可能取值为 1 或 0,对 i a =1 或 0((1≤i≤n),容易验证有 ( , , ) ( ), ( ) P 1 = a1  n = an = P 1 = a1 P n = an 成立,所以  n , , 1  是相互独立的随机变量